1、第五章 数 列第三节 等比数列(1)(2015湖南卷)设 Sn 为等比数列n的前 n 项和若11，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 n_(2)(2015安徽卷)已知数列n是递增的等比数列，149，238，则数列n的前 n 项和等于_解析：(1)因为 3S1，2S2，S3 成等差数列，所以 4S23S1S3，即 4(12)31123.化简，得323，即等比数列n的公比 q3，故n13n13n1.(2)设等比数列的公比为 q，则有11q39，21q38，解得11，q2或18，q12.又n为递增数列，11，q2，Sn12n12 2n1.答案：(1)3n1(2)2n11等比数列的通项公式与前
2、n 项和公式共涉及五个量1，n，q，n，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用 2在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算 (1)(2016郑州一检)已知数列n是等比数列，若 132，46，则 10_解析：由41q3 可得 q34，所以104q64(q3)264296.答案：96(2014课标全国卷)已知数列n满足 11，n13n1.(1)证明n12 是等比数列，并求n的通项公式；(2)证明 11 12 1n32.证明：(1)由n13n1 得n1123an12.又11232，所以n12 是首项为32，公比为
3、3 的等比数列 n123n2，因此n的通项公式为n3n12.(2)由(1)知 1n23n1.因为当 n1 时，3n123n1，所以13n1123n1.于是 11 12 1n113 13n1 321 13n 32.所以 11 12 1n32.等比数列的判定方法(1)定义法：若n1n q(q 为非零常数，nN*)，则n是等比数列(2)等比中项法：若数列n中，n0 且2n1nn2(nN*)，则数列n是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ncqn(c，q 均是不为 0的常数，nN*)，则n是等比数列已知数列n的前 n 项和为 Sn，数列bn中，b11，bnnn1(n2)，且 nSnn.(1)
4、设 cnn1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式证明：(1)nSnn，n1Sn1n1，得n1nn11，即 2n1n1，2(n11)n1，即 2cn1cn.由1S11 得112，c11112，从而 cn0，cn1cn 12.所以数列cn是以12为首项，12为公比的等比数列(2)解：由(1)知 cn1212n112n，又 cnn1，ncn1112n，当 n2 时，bnnn1 112n112n1 12n.又 b1112，适合上式，故 bn12n.(1)(2015课标全国卷)已知等比数列n满足 114，354(41)，则 2()A2 B1C.12D.18(2)(2014广东卷)等比数列n
5、的各项均为正数，且 154，则log21log22log23log24log25_解：(1)法一 根据等比数列的性质，结合已知条件求出4，q 后求解 3524，354(41)，244(41)，244440，42.又q3412148，q2，21q14212.法二 354(41)，1q21q44(1q31)，将114代入上式并整理，得 q616q3640，解得 q2.21q12.(2)log21log22log23log24log25 log2(12345)log2535log23 5log2 155log225.答案：(1)C(2)51在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特
6、别是性质“若 mnpq，则mnpq”，可以减少运算量，提高解题速度，如本例(2)2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(1)(2016开封模拟)记等比数列n的前 n 项积为 Tn(nN*)，已知 m1m12m0，且 T2m1128，则 m 的值为()A4 B7C10 D12(2)在正项等比数列n中，已知 1234，45612，n1nn1324，则 n()A11 B12C14 D16解析：(1)因为n是等比数列，所以m1m12m，又由题中m1m12m0，可知m2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积为 T2m12m1m，即 22m1128，故 m4.(2)设数列n的公比为 q，由123431q3 与4561231q12，可得 q93，n1nn131q3n3324，因此 q3n68134q36，所以 n14，故选 C.答案：(1)A(2)C
