1、4.8解三角形的实际应用举例1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值3解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意
2、图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算()(2)如图，B，C，D三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为和()，则可以求出A点距地面的高度AB.()(3)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，()(5)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为
3、10，则斜坡长为2cos 10.()1如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50 mB50 mC25 mD. m答案A解析ACB45，CAB105，ABC1801054530.在ABC中，由正弦定理得，AB50 (m)2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10答案B解析如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.3(2014四川)如
4、图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于 m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)答案60解析根据已知的图形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060(m)4如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.答案3030解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4
5、530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，树的高度为PBsin 4530()(3030)m.题型一测量距离问题例1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离解如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB km，A、B之间的距离为 km.思维升华求距离问题的注意事项(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角
6、形问题(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形(1)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是 千米(2)已有A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为 km.答案(1)(2)1解析(1)如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，AC.(2)如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos 120，即3222x222xcos 120，整理得x22x
7、5，解得x1(另一解为负值舍掉)题型二测量高度、角度问题例2(1)如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 B15C5 D15(2)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75且距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时答案(1)D(2)A解(1)在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15
8、15.(2)如图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为 km.(2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，则塔高为 米答案(1)30(
9、2)(3)解析(1)如图所示，依题意有AB15460 km，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 km.(2)如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45，过点B作BECD于E，则AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD20(米)BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米)在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高为(3)米题型三三角形中的综合问题例3已知向量m(sin，1)，n(cos，cos2)，函数f(x)mn.(1)若f(x
10、)1，求cos(x)的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acos Ccb，求f(B)的取值范围解由题意得，f(x)sincoscos2sincossin().(1)由f(x)1，可得sin()，则cos(x)2cos2()12sin2()1.(2)已知acos Ccb，由余弦定理，可得acb，即b2c2a2bc，则cos A，又A为三角形的内角，所以A，从而BC，易知0B，0，则，所以1sin()，故f(B)的取值范围为(1，)思维升华在三角形边角关系相互制约的问题中，基本的解决思路有两种：一是根据正、余弦定理把边的关系都转化为角的关系，通过三角恒等变形解决问题；
11、二是根据正、余弦定理把角的关系都转化为边的关系，通过代数变换解决问题(2014陕西)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值(1)证明a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)解a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立cos B的最小值为.函数思想在解三角形中的应用典例：(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送
12、到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思维点拨(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则1分S .3分故当
13、t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6分(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，8分故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.11分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时12分温馨提醒(1)三角形中的最值问题，可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.方法与技巧利用解三角形解决实际问题时
14、，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义失误与防范1不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混2在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.A组专项基础训练(时间：40分钟)1若点A在点B的北偏西30，则点B在点A的()A北偏西30 B北偏西60C南偏东30 D东偏南30答案C解析如图，点B在点A的南偏东30.2如图，飞机的航线和山顶在同
15、一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)()A11.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km答案B解析AB1 0001 000m，BCsin 30m.航线离山顶hsin 7511.4 km.山高为1811.46.6 km.3如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A30 B45 C60 D75答案B解析依题意可得AD20
16、 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.4一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里答案A解析如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)5如图，一栋建筑物AB的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在
17、它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为 m.答案60解析如图，在RtABM中，AM20m.过点A作ANCD于点N，易知MANAMB15，所以MAC301545，又AMC1801560105，从而ACM30.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40 m，在RtCMD中，CD40sin 6060 m，故通信塔CD的高为60 m.6甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 答案20米，米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB20tan 6020(
18、米)，又CMDB20(米)，CAM60，所以AMCM(米)，故乙楼的高度为CD20(米)7(2014课标全国)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN m.答案150解析根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150 m.8如图，在四边形ABCD花圃中，已知ADCD，AD10 m，AB14 m，BDA60，BCD135，则BC的长为 m.答案8解析在ABD中，设BDx
19、，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，BCsin 308.9.在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45，设建筑物的高为50 m求此山对于地平面的斜度的余弦值解在ABC中，BAC15，CBA18045135，所以ACB30.又AB100 m，由正弦定理，得，即BC.在BCD中，因为CD50，BC，CBD45，CDB90，由正弦定理，得，解得cos 1.因此，山对于地平面的斜度的余弦值为1
20、.10某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间解如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210292t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时
21、间为 h此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮B组专项能力提升(时间：20分钟)11某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 答案或2解析如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理，得x23x60，解得x或2.12(2013福建)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，
22、AD3，则BD的长为 答案解析sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233，即BD23，BD.13如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8n mile.此船的航速是 答案32 n mile/h解析设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得：，v32.14在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30，60，则塔高为 m.答案 解析如图，由已知可得BAC
23、30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120.又AB200 m，AC m.在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2cos 1203CD2，CDAC m.15(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道A
24、B的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040 m.所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500 m.乙从B出发时，甲已走了50(281)550 m，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.
