1、第二节 函数的单调性与最值确定函数的单调性(区间)(1)函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)(2)试讨论函数 f(x)axx21，x(1，1)的单调性(其中 a0)解析：(1)由 x240，得 x2 或 x2.f(x)的定义域为(，2)(2，)令 tx24，则 ylog12t，(t0)tx24 在(，2)上是减函数，且 ylog12t 在(0，)上是减函数，函数 f(x)在(，2)上是增函数，即 f(x)的增区间为(，2)答案：D(2)解：法一 设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221a（x2x1）（x1x
2、21）（x211）（x221），1x1x21，x2x10，x2110，x2210.1x1x21，x1x210.（x2x1）（x2x11）（x211）（x221）0，因此，当 a0 时，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，此时函数在(1，1)上为减函数；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，此时函数在(1，1)上为增函数 法二 f(x)a（x21）2ax2（x21）2a（x21）（x21）2.当 a0 时，f(x)0，当 a0 时，f(x)0.当 a0 时，f(x)在(1，1)上为减函数 当 a0 时，f(x)在(1，1)上为增函数1求函数的单调区间，应先求定义域
3、，在定义域内求单域区间，如例 1(1)2函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法 3函数 yf(g(x)的单调性应根据外层函数 yf(t)和内层函数 tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则【变式训练】判断函数 f(x)xax(a0)在(0，)上的单调性，并给出证明解：f(x)在(0，a 上是减函数，在 a，)上是增函数 法一 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1 ax1 x2 ax2 x1x2x1x2(x1x2a)当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2
4、)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0，a上是减函数 当 ax1x2 时，x1x2a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在 a，)上是增函数 综上可知，函数 f(x)xax(a0)在(0，a上是减函数，在 a，)上为增函数 法二 f(x)1 ax2，令 f(x)0，则 1 ax20，解得 x a或 x a(舍)令 f(x)0，则 1 ax20，解得 ax a.x0，0 x a.f(x)在(0，a)上为减函数；在(a，)上为增函数确定函数的最值(1)(2017郑州质检)若函数 f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为
5、 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)x在0，)上是增函数，则 a()A4 B2 C.12 D.14(2)函数 f(x)1x1在区间a，b上的最大值是 1，最小值是13，则 ab_解析：(1)若 a1，有 a24，a1m，此时 a2，m12，此时g(x)x为减函数，不合题意 若 0a1，则 yax 为减函数，则 a14，a2m，所以 a14，m 116.此时 g(x)34 x在0，)上是增函数故 a14.(2)易知 f(x)在a，b上为减函数，f（a）1f（b）13，即1a11，1b113，所以a2，b4，ab6.答案：(1)D(2)6 1求函数最值的常用方法：单调性法；基本不等式法；
6、配方法；图象法；导数法 2利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解若函数 f(x)在闭间区a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)若函数 f(x)在闭区间a，b上是减函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)【变式训练】如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，且当 x12时，f(x)log2(3x1)，那么函数 f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为()A2 B3C4 D1解析：根据 f(1x)f(x)，可知函数 f(x)的图象关于直线 x12对称 又函数 f(x)在12，)上单调递增，故
7、函数 f(x)在(，12上单调递减，所以 f(x)在2，0上是减函数 则函数 f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为 f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.答案：C函数单调性的应用(一题多变)(经典母题)(2017珠海模拟)定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上递增，且 f12 0，求不等式 f(log19x)0 的解集解：yf(x)定义在 R 上的奇函数，且 yf(x)在(0，)上递增 yf(x)在(，0)上也是增函数 又 f(12)0，知 f(12)f(12)0.故原不等式 f(log19x)0 化为 f(log19x)f(12)或 f(lo
8、g19x)f(12)log19x12或12log19x0 解得 0 x13或 1x3 所以原不等式的解集为x|0 x13或 1x3【探究迁移 1】本例条件若改为：“定义在 R 上的偶函数 yf(x)在0，)上单调递减”且 f(12)0，则不等式 f(log19x)0 的解集是_解析：f(12)0，f(log19x)0，f(log19x)f(log19x)f(12)又yf(x)是偶函数，且 yf(x)在0，)上递减 f(|log19x|)f(12)，则|log19x|12.12log19x12，解得13x3.答案：(13，3)变式训练 如果函数 yf(x)若为：f(x)（2a）x1，x1，ax，x1，满足对任意 x1x2，都 有 f（x1）f（x2）x1x2 0 成 立，那 么 a 的 取 值 范 围 是_解析：对任意 x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20.所以 yf(x)在(，)上是增函数 2a0，a1，（2a）11a，解得32a2.故实数 a 的取值范围是32，2)答案：32，2)1在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域 2利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解
