1、第1章过关检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且bc,则b=()A.3B.2C.2D.答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-2b2,即b2-6b+8=0,解得:b=2或4.又因为bc,所以b=2.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45,cos A=,则b等于()A.B.C.D.答案:C解析:因为cos A=,所以sin A=,所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Ac
2、os B+cos Asin B=cos 45+sin 45=.由正弦定理,得b=sin 45=.3.在直角梯形ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=2BC=2CD,则cosDAC=()A.B.C.D.答案:B解析:由已知条件可得图形,如图,设CD=a,在ACD中,CD2=AD2+AC2-2ADACcosDAC,a2=(a)2+(a)2-2aacosDAC,cosDAC=.4.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,则角B的大小为()A.30B.45C.60D.120答案:A解析:由正弦定理及(b-c)(sin B+s
3、in C)=(a-c)sin A,得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac.又因为cos B=,所以B=30.5.已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为()A.B.1C.D.2答案:C解析:a2=b2+c2-bc,cos A=,A=.又bc=4,ABC的面积为bcsin A=,故选C.6.(2016课标全国高考丙卷)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()(导学号51830086)A.B.C.D.答案:D解析:(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由
4、题意得,SABC=aa=acsin B,c=a.由正弦定理,得sin C=sin A.C=-A,sin C=sinsin A,即cos A+sin A=sin A,整理得sin A=-3cos A.sin2A+cos2A=1,sin2A+sin2A=1,即sin2A=,解得:sin A=(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得SABC=aacsin B,c=a.b2=a2+-2a,即b=.由正弦定理得,sin A=.故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)7.在ABC中,若AB=2,AC=2,ABC的面积为,则cos B=.答案:解析:
5、SABC=ABACsin A,sin A=,cos A=.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,BC=2或BC=2.当BC=2时,B=A,cos B=cos 30=.当BC=2时,由余弦定理cos B=.8.在ABC中,若b=2a,B=A+60,则A=.答案:30解析:b=2a,sin B=2sin A,sin(A+60)=2sin A,sin A+cos A=2sin A,tan A=,A=30.9.在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则=,AC的取值范围为.答案:2()解析:由正弦定理得.B=2A,BC=1,.=2.ABC是锐角三角形,02A90,30A45.从而2cos
6、 A,即AC.10.已知两座灯塔A,B与一岛C的距离都等于a km,灯塔A在岛C的北偏东20,灯塔B在岛C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为km.答案:a解析:由题意,ABC中,AC=BC=a km,ACB=120,由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a2+a2-2aa=3a2,AB=a(km).三、解:答题(本大题共4小题,共50分)11.(本小题满分12分)(2016课标全国高考乙卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.(导学号51830087
7、)解:(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,即2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=,所以C=.(2)由已知,absin C=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以ABC的周长为5+.12.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A+sin C=psin B(pR),且ac=b2.(1)当p=,b=1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范
8、围.解:(1)由已知及正弦定理,得解得:(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=p2b2-b2-b2cos B,即p2=cos B,0cos B0,p,即p的取值范围是.13.(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45+的方向去追.求追缉所需的时间和角的正弦值.解:设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,则有AB=14x n mi
9、le,BC=10x n mile,ACB=120.(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120,整理得,4x2-5x-6=0,x=2,AB=28 n mile,BC=20 n mile,在ABC中,由正弦定理得,sin =.答:追缉所需时间为2小时,角的正弦值为.14.(本小题满分14分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cos B=,b=2,求ABC的面积.(导学号51830088)解:(1)由正弦定理,设=k,则,(cos A-2cos C)sin B=cos B(2sin C-sin A),化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=,sin C=2sin A.=2.(2)由=2,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及cos B=,b=2,知4=a2+4a2-4a2,a2=1.a=1,c=2.又cos B=,0B,sin B=.SABC=acsin B=12.
