1、课前自学课堂互动课堂达标1.2.2 同角三角函数的基本关系 目标定位 1.理解同角三角函数的两个基本关系：sin2xcos2x1，sin xcos xtan x，能进行简单应用；2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和进行求值、化简.课前自学课堂互动课堂达标1.任意角三角函数的定义 自 主 预 习 如图所示，以任意角 的顶点 O 为坐标原点，以角 的始边的方向作为 x 轴的正方向，建立直角坐标系.设 P(x，y)是任意角 终边上不同于坐标原点的任意一点.其中，r|OP|x2y20.则 sin _，cos _，tan _.yrxryx课前自学课堂互动课堂达标2.同角三角函数的基本关系式(1)平
2、方关系：_.(2)商数关系：_.sin2cos21tan sin cos (k 2，kZ)3.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2 cos2 1 的变形公式：sin2 _；cos2 _；(2)tan sin cos 的变形公式：sin _；cos _.1cos21sin2cos tan sin tan 课前自学课堂互动课堂达标即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若已知 sin 12，则 cos 32.()(2)12sin 10cos 10sin 10cos 10.()(3)对任意角 都有 sin tan cos .()(4)对任意角 都有 sin2 cos2
3、1.()课前自学课堂互动课堂达标提示(1)sin5612，但 cos 32.(2)sin 10cos 10，12sin 10cos 10cos 10sin 10(3)当 2 k，kZ 时，才成立.(4)由三角函数定义知 R，都有 sin2cos21.课前自学课堂互动课堂达标2.下列等式中恒成立的个数为()sin211cos21；sin2 cos2 sin23cos23；(sin 2xcos 2x)212sin 2xcos 2x；sin tan cos k 2，kZ.A.1 B.2 C.3 D.4答案 D 课前自学课堂互动课堂达标3.若角 是第三象限的角，则11sin2 的化简结果为()A.1s
4、in B.1cos C.1sin D.1cos 解析 是第三象限角，故 cos 0，则11sin21cos21|cos|1cos.答案 D 课前自学课堂互动课堂达标4.化简 12sin 40cos 40_.解析 原式 sin240cos2402sin 40cos 40 （sin 40cos 40）2|cos 40sin 40|cos 40sin 40.答案 cos 40sin 40课前自学课堂互动课堂达标类型一 利用同角基本关系式求值【例 1】已知 cos 817，求 sin ，tan 的值.解 cos 8170，是第二或第三象限的角，如果 是第二象限角，那么 sin 1cos2 1 8172
5、1517，tan sin cos 1517 817158.如果 是第三象限角，同理可得sin 1cos2 1517，tan 158.课前自学课堂互动课堂达标规律方法 已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1sin2cos2”.本题没有指出是第几象限的角，则必须由cos 的值推断出所在的象限，再分类求解.课前自学课堂互动课堂达标【训练 1】已知 tan 43，且 是第三象限角，求 sin ，cos 的值.解 由 tan sin cos 43，得 sin 43cos，又 sin2 cos2 1，由得
6、169 cos2 cos2 1，即 cos2 925.又 是第三象限角，cos 35，sin 43cos 45.课前自学课堂互动课堂达标类型二 三角函数恒等式的化简证明【例 2】求证：tan sin tan sin tan sin tan sin.证明 右边tan2 sin2（tan sin ）tan sin tan2 tan2 cos2（tan sin ）tan sin tan2（1cos2）（tan sin ）tan sin tan2 sin2（tan sin ）tan sin tan sin tan sin 左边，原等式成立.课前自学课堂互动课堂达标规律方法(1)证明三角恒等式的实质：清
7、除等式两端的差异，有目的的化简.(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.课前自学课堂互动课堂达标【训练2】求证：2(1sin)(1cos)(1sin cos)2.证明 右边(1sin )cos 2(1sin )2cos2 2cos (1sin )12sin sin2 cos2 2cos (1sin )22sin 2cos (1sin )2(1sin )(1cos )左边，原等式成立.课前自学课堂互动课堂达标类型三 齐次三角式的化简求值(互动探究)【例 3】已知 3sin 4cos 0，求下列各式的值：(1)2cos 3sin 3cos s
8、in ；(2)2sin2 sin cos 3cos2.思路探究探究点一 已知条件含有两种函数，能否化简？提示 由已知显然 cos 0，故已知条件可化为：tan 43.探究点二 待求值的式子能否统一成切函数？提示 可以.(1)式分子分母同除以 cos.(2)式补加分母 sin2cos2，再同除以 cos2.课前自学课堂互动课堂达标解 3sin 4cos 0，tan 43.(1)原式23tan 3tan 234334365.(2)原式2sin2 sin cos 3cos2sin2 cos22tan2 tan 3tan2 1243243 34321 725.课前自学课堂互动课堂达标规律方法 求关于
9、sin、cos 的齐次分式(sin，cos 的次数相同)的值，可将求值式变为关于 tan 的代数式，此方法亦称为“弦化切”.解决这类问题时，要注意式子 1sin2cos2及 tan sin cos 的使用.课前自学课堂互动课堂达标【训练 3】已知：sin cos 15，(0，)，求上述例 3 两式的值.解 sin cos 15，12sin cos 125，2sin cos 24250，cos 0.课前自学课堂互动课堂达标又(sin cos )212sin cos 124254925，sin cos 75.由1sincos,57sincos,5sin 45，cos 35，tan 43，(1)原式
10、65，(2)原式 725.课前自学课堂互动课堂达标课堂小结1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如 sin2 2 cos22 1，sin 8cos 8 tan 8 等都成立，理由是式子中的角为“同角”.2.已知角 的某一种三角函数值，求角 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求 sin 或 cos 时，其正负号是由角 所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.课前自学课堂互动课堂达标3.在三角函数的变换求值中，已知 sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，
11、可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.课前自学课堂互动课堂达标5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：“1”的代换；减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课前自学课堂互动课堂达标1.已知 0，2，sin 35，则 cos ()A.45B.45C.17D.35解析 由 sin2cos21，且 0，2 知：cos 1sin245.答案 A 课前自学课堂互动课堂达标2.若 是第三象限角，则cos 1sin2 2sin 1cos2 的值为()A.3 B.3C.1 D.1 解析 原式 cos|cos|2sin|sin|123.答案 B 课前自学课堂互动课堂达标3.已知 tan 34，32，则 cos 的值是_.解析 由22sincos1,sin4tancos.cos5答案 45课前自学课堂互动课堂达标4.化简：12sin2 cos2 12sin2 cos2 0 0，sin2 cos2 0，原式cos2sin2 cos2 sin2 2cos2.
