1、第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用函数(图象)刻画实际问题1,5,10二次函数模型4,7,9函数y=x+(a0)模型8,11指数函数模型3,6分段函数模型12函数模型的选择2基础巩固(时间:30分钟)1.导学号 94626077如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有(A)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图是匀速的,故下面的图象
2、不正确,中的变化率是越来越慢的,正确;中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有是错误的.故选A.2.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(C)(A)y=100x(B)y=50x2-50x+100(C)y=502x(D)y=100log2x+100解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数函数模型. 故选C.3.(2017北京延庆一模)某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化,开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动
3、,并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的(D)(A)2倍以上,但不超过3倍(B)3倍以上,但不超过4倍(C)4倍以上,但不超过5倍(D)5倍以上,但不超过6倍解析:设第一个月的点击量为1.则4个月后点击量y=(1+50%)4=(5,6).该网站的点击量和原来相比,增长为原来的5倍以上,但不超过6倍.故选D.4.(2017河南豫南九校期末质量考评)中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,古代用它作为长方棱台(上、下底面均为矩形的棱台)的专用术语.关于“刍童”体积计算的描述,九章算术注曰:“倍
4、上表,下表从之.亦倍下表,上表从之,各以其广乘之,并以高若深乘之,皆六面一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一,以此算法,现有上下底面为相似矩形的棱台,相似比为,高为3,且上底面的周长为6,则该棱台的体积的最大值是(C)(A)14(B)56(C)(D)63解析:设上底面的长为x,则宽为3-x,因为相似比为,所以下底面的长为2x,宽为6-2x.由题意得棱台的体积为V=(2x+2x)(3-x)+(4x+x)(6-2x)3=-7x2+21x,所以当x=-=时,Vma
5、x=-7()2+21=.故选C.5.(2017北京市丰台区高三二模)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,不正确的是(D)(A)首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用(B)每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒(C)每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用(D)首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒解析:从图象可
6、以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后,该药物的血药浓度大于最低有效浓度,药物发挥治疗作用,A正确;第一次服药后3小时与第2次服药1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,B正确,D错误;服药5.5小时后,血药浓度小于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,正好能发挥作用,C正确.故选D.6.(2017湖北省七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P=P0e-kt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%需要花费的时间为小时.解析:由题设可得(1-0.1)P0=P0e-5k,即0.9
7、=e-5k,故-5k=ln 0.9;又(1-0.19)P0=P0e-kt,即0.81=e-kt,故-kt=ln 0.81=2ln 0.9=-10k,故t=10.答案:107.(2017四川南充模拟)渔场中鱼群的最大养殖量为m,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量,已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0),则鱼群年增长量的最大值是.解析:由题意,空闲率为1-,所以y=kx(1-),定义域为(0,m),y=kx(1-)=-(x-)2+,因为x(0,m),k0,所以当x=时,ymax=.答案:8.已知某矩形广场的面积为4万平
8、方米,则其周长至少为米.解析:设这个广场的长为x米,则宽为米.所以其周长为l=2(x+)800,当且仅当x=200时取等号.答案:800能力提升(时间:15分钟)9.导学号 94626078设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100,xN*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是(B)(A)15(B)16(C)17(D)18解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每
9、年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则解得0x.因为xN*,所以x的最大值为16.故选B.10.(2017山西省三区八校高三第二次模拟考试)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0a12),不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是(B)解析:设AD长为x,则CD长为16-x,又因为要将P点围在矩形ABCD内,所以ax12.则矩形ABCD的面积为x(16-x).当0a8时,当且仅当x=8时,u=64,当8a
10、12时,u=a(16-a),u=分段画出函数图象可得其形状与B接近.故选B.11.(2017江西南昌二模)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,求该公司最大月利润.解:因为利润等于收入减成本,所以利润y=(4
11、8+)x-32x-t-3=16x-3=16x+-3=16(x-3)+48-2.5,因为x=3-3,所以x-30,可化简为y=-16(3-x)+45.5,而16(3-x)+2=8,则-16(3-x)+45.5-8+45.5=37.5,等号成立的条件是16(3-x)=x=2.75,所以该公司的最大利润是37.5万元.12.(2017辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,
12、发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解:(1)因为甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,所以f(50)=80+4+150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得20x180,故f(x)=-x+4+250(20x180).令t=2,6,则f(x)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)max=282万元.所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.
