1、山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年高二数学上学期第二次质量检测试题（含解析）考试时间：120分钟；注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：抛物线化为标准方程，则，所以准线方程为，故答案为D考点：抛物线的性质2. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详解】因为，所以，因为平面的法向量，所以点到平面的距
2、离.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题3. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由圆的对称性可得过圆的圆心且直线与直线垂直，从而可求出.【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，故直线与直线垂直，且直线过圆心，所以，所以，.故选：C.【点睛】关键点睛：根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质是解题的关键.4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 51B. 57C. 54D. 72【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：
3、B5. 经过点P(2，2)且与双曲线C：有相同渐近线的双曲线方程是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设所求的双曲线方程是=k，由点P（2，2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程【详解】由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，点P（2，2）在双曲线方程上， 所以=k，k=2，故所求的双曲线方程是，故选B【点睛】本题考查双曲线标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是=k，属于基础题6. 已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）A. 4B. 4C. 4D. 不确定【答案】A【解析】【分析】根据等比中项
4、的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值.【详解】由题意知：，且若令公比为时有，故选：A7. 如图所示，在直三棱柱中，且，点在棱上，且三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】由已知得底面，且，所以，解得.如图所示，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，则，.设平面的法向量为，则由可得，即，得，令，得，所以为平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为，则.故选：C.【点睛
5、】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，（其中为平面斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.8. 谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的好玩的数学一书中，有一篇文章五分钟挑出埃及分数，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数，的和是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据裂项相消法即可求和.【详解】因为，故选：B二、多选题（每个题目都有多个
6、答案，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，A对；，B错；，C对；，对故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10. 已知Sn是等差数列(nN*)的前n项和，且S5S6S4，以下有四个
7、命题，其中正确的有（ ）A. 数列的公差d0D. S110【答案】AC【解析】【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn的最大项为S5，所以A正确，B错误，所以，所以C正确，D错误，故选：AC11. 在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.【详解】所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形 即在直线上，圆心距 计算得到 故答案选AB【点睛】本题考查了
8、圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.12. 过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由题意得圆心角，得圆心到直线的距离为，直线的斜率存在，设方程为，由圆心到直线的距离可求得【详解】由题意得，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故选：BC.第II卷（非选择题）三、填空题13. 坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为_.【答案】或.【解析】【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.【详解】当直
9、线在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为；当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为，又直线过点，则，解得，所以直线的方程为；所以直线l的方程为或.故答案为：或.【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.14. 记为数列的前项和，则_【答案】-16【解析】【分析】根据递推公式，求得，再根据条件式子可求得，进而求得数列的通项公式，即可得的值【详解】由得两式相减得，化简可知，即由题意可知，解得所以数列的通项公式为所以.【点睛
10、】本题考查了递推公式的应用，等比数列通项公式的求法，特殊项的求值，属于基础题15. 已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】首先确定准线方程，然后结合对称性求解的最小值即可.【详解】，准线方程为，设，则，即，代入，得，不妨取，即，设关于准线的对称点为，可得，故 即的最小值为.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线中的最值问题，对称转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是_【答案】【解析】【分析】先由椭圆方程，
11、求出半焦距为，根据题中条件，由椭圆定义，求出，利用双曲线的定义，以及离心率计算公式，即可求出结果.【详解】由椭圆方程，可得半焦距为，因为四边形是矩形，所以；由在椭圆上，根据椭圆定义可得，则，所以，设双曲线的实轴长为，则，即，所以其离心率为故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆定义，以及题中条件，求出，根据双曲线的定义，求出其实轴长，再根据两曲线共焦点，即可求解.四、解答题17. 已知平面内两点，.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）一束光线从点射向（1）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可求出，
12、然后根据直线过点且与直线平行即可求出直线的方程；（2）本题可求出关于直线的对称点的坐标，然后求出的值，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，因为直线过点且与直线平行，所以直线方程为，即.（2）设关于直线的对称点为，则，解得，因为，所以，则反射光线所在的直线方程为，即.【点睛】关键点点睛：本题考查根据两直线平行求直线方程以及求反射光线所在的直线方程，若两直线平行，则这两直线的斜率相等，考查点关于直线的对称点的求法，考查计算能力，是中档题.18. 张先生2018年年底购买了一辆排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中
13、）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：，）?【答案】（1）55吨；（2）15年【解析】【分析】（1）分析出小轿车排出的二氧化碳的吨数构成等差数列，利用等
14、差数列求和公式求和即可；（2）分析出林木吸收二氧化碳的吨数构成等比数列，根据题意利用等比数列求和公式列出不等式，再利用参考数据求出n的范围即可得解.【详解】（1）设第年小轿车排出的二氧化碳的吨数为，则，显然其构成首项为，公差为等差数列，记其前项和为，则，所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.（2）记第年林木吸收二氧化碳的吨数为，则，显然其构成首项为，公比为的等比数列，记其前项和为，由题意，有，解得.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.【点睛】本题考查数列的应用、等差数列求和公式、等比数列求和公式，属于基础题.19. 如图，在四棱锥中，平面平面，
15、.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，从而得，再由即可得出平面，即得证；（2）取中点，连接，以，为，轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）证明：在四棱锥中，因为平面平面，平面平面，又因为，平面，所以平面.因平面，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：取中点，连接，因为，所以因为平面平面，平面平面，因为平面，所以平面，所以，.因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.以，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令
16、，则.设平面的法向量为，则，即，令，则.所以.易判断二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知数列满足：=1，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列的定义，证明数列是等比数列；（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.【详解】（1）设，则，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列是
17、等比数列（2）由（1）得，即.两式相减得.【点睛】方法点睛：本题考查已知数列求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.21. 已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线，与圆C相切于A，B两点.（1）当P点坐标为时，求以为直径的圆的方程，并求直线的方程；（2）设切线与的斜率分别为，且时，求点P的坐标.【答案】（1）圆的方程为，直线的方程为；（2）或.【解析】【分析】（1）求出圆心即中点坐标，和半径可得圆方
18、程，与已知圆方程相减可得直线方程；（2）设过P的直线l方程，整理得到：含的方程，进而利用韦达定理，求出点P的坐标【详解】解：（1）圆，可化为，中点为，以为直径的圆的方程为圆，P，A，B，C四点共圆E，直线的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直线的方程为；（2）设过P的直线l方程为，由于与直线l相切，得到，整理得到：，代入，可得，或，点P坐标或.【点睛】关键点睛：设过P的直线l方程，由于与直线l相切，得到，进而得到方程，最后利用韦达定理求出点P坐标，属于中档题22. 已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.（1）求抛物线的标准
19、方程；（2）设直线，的斜率分别为，证明：为定值；（3）求最小值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）4.【解析】【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设的坐标，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得：，利用判别式等于零可得结论；（3）设，的坐标，由（2）可得参数，的关系，代入过的切线方程与抛物线的方程中，可得，用参数，表示的坐标，代入弦长公式中求的表达式，由参数的范围求出的最小值【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为抛物线的焦点为，所以抛物线的标准方程：（2）抛物线的准线方程为设，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得：其判别式，令，得：由韦达定理知，故（定值）（3）设，由，得，故，所以，代入抛物线方程得，所以，因为，所以，当且仅当时取等号当且仅时取等号故的最小值为4【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
