1、第六节 抛物线授课提示：对应学生用书第363页A组基础保分练1（2020高考全国卷）已知A为抛物线C：y22px（p0）上一点，点A到点C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p（）A2B3C6 D9解析：设A（x，y），由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x12又因为点A到y轴的距离为9，即x9，所以912，解得p6答案：C2已知抛物线y22px（p0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A4 B9C10 D18解析：抛物线y22px的焦点为，准线方程为x由题意可得49，解得p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10答案：C3（2021安阳
2、模拟）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AAl，垂足为A若四边形AAPF的面积为14，且cosFAA，则抛物线C的方程为（）Ay2x By22xCy24x Dy28x解析：过点F作FFAA，垂足为F设|AF|3x，因为cosFAA，故|AF|5x，则|FF|4x，由抛物线定义可知，|AF|AA|5x，则|AF|2xp，故x四边形AAPF的面积S14，解得p2，故抛物线C的方程为y24x答案：C4过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于（）A4 BC5 D6解析：易知直线l的斜率
3、存在，设为k，则其方程为yk（x1）由得k2x2（2k24）xk20，得xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12（xB1），即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp答案：B5（2021合肥检测）已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px（p0）的准线交于A，B两点O为坐标原点若OAB的面积为1，则p的值为（）A1 BC2 D4解析：双曲线的两条渐近线方程为y2x，抛物线的准线方程为x，故A，B两点的坐标为，|AB|2p，所以SOAB2p1，解得p答案：B6（2021广东六校联考）抛物线y2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，
4、则点M的纵坐标的最小值为（）A BC D1解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB的方程为ykxb，由题意知y0b0，联立得整理得2x2kxb0，k28b0，x1x2，x1x2，则|AB|，点M的纵坐标y0xxb因为弦AB的长为3，所以3，即（1k2）9，故（14y04b）（y0b）9，即（14y04b）（4y04b）36由基本不等式得，（14y04b）（4y04b）212，当且仅当时取等号，得18y012，y0，故点M的纵坐标的最小值为答案：A7已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，2），则此抛物线的标准方程为_解析：依题意可设抛物线的方程为x22py（p
5、0），因为焦点坐标为（0，2），所以2，解得p4故所求的抛物线的标准方程为x28y答案：x28y8直线l过抛物线C：y22px（p0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p，_解析：由1，得p2当直线l的斜率不存在时，l：x1，代入y24x，得y2，此时|AF|BF|2，所以1；当直线l的斜率存在时，设l：yk（x1）（k0），代入抛物线方程，得k2x22（k22）xk20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x21，1综上，1答案：219已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为
6、B，OB的中点为M（1）求抛物线的方程；（2）若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解析：（1）抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x（2）点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）又F（1，0），kFAMNFA，kMN又FA的方程为y（x1），故MN的方程为y2x，解方程组得x，y，N的坐标为10（2021襄阳联考）动点P到定点F（0，1）的距离比它到直线y2的距离小1设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且两切线相交于点M（1）求曲线C的方程；（2）求证：0解析：（1）由已知得动点P在直线
7、y2的上方，条件可转化为动点P到定点F（0，1）的距离等于它到直线y1的距离，动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，直线y1为准线的抛物线，故其方程为x24y（2）证明：设直线AB的方程为ykx1则得x24kx40设A（xA，yA），B（xB，yB），则xAxB4k，xAxB4由x24y得yx2，yx直线AM的方程为yxxA（xxA），直线BM的方程为yxxB（xxB），得（xx）（xAxB）x（xx），x2k将x代入，得yxxAxAxBx，yxAxB1，M（2k，1）（2k，2），（xBxA，k（xBxA），2k（xBxA）2k（xBxA）0B组能力提升练1若抛物线y22px（p0）上一点到焦
8、点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（）Ay24x By236xCy24x或y236x Dy28x或y232x解析：因为抛物线y22px（p0）上一点到抛物线对称轴的距离为6，所以可设该点为P（x0，6）因为P到抛物线焦点F的距离为10，所以根据抛物线的定义得x010因为P在抛物线上，所以362px0由解得p2，x09或p18，x01，所以抛物线的方程为y24x或y236x答案：C2（2021武汉模拟）已知抛物线y24x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则MAF周长的最小值为（）A10 B11C12 D13解析：由题意知，当|MA|MF|的值
9、最小时，MAF的周长最小设点M在抛物线的准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MD|MF|，因此|MA|MF|的最小值即|MA|MD|的最小值根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|MD|最小，最小值为xA（1）516又|FA|5，所以MAF周长的最小值为6511答案：B3（2021河北六校模拟）抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线的方程为_解析：设满足题意的圆的圆心为M根据题意可知圆心M在抛物线上又圆的面积为36，圆的半径为6，则|MF|xM6，则xM6又由题意可知xM，6，解得p8抛物线
10、方程为y216x答案：y216x4（2021成都摸底）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且|AF|1，则抛物线C的标准方程为_解析：如图，设直线l与x轴交于点D，过点B作BEl于点E，则|DF|p由抛物线的定义知|BE|BF|设|BE|BF|m，因为AEBADF，所以，即，所以，所以|AF|由|AF|1，得1，解得p1，所以抛物线C的标准方程为y22x答案：y22x5在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点A在抛物线C上，若|AO|AF|（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l与抛物线C
11、交于P，Q两点，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值解析：（1）因为点A在C上，|AO|AF|，所以点A的纵坐标为，所以，所以p2，所以抛物线C的方程为x24y（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb（b0），代入抛物线方程，可得x24kx4b0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1x24k，x1x24b，所以y1y24k22b，因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2b1，即2k21b0，所以0b1，SOPQb|x1x2|bbb（0b1）设yb3b2，y3b22b0，函数单调递增，所以当b1时，OPQ的面积取最大值为26已知抛物线C：x22py（p0）
12、和定点M（0，1），设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N（1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；（2）若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解析：设直线AB：ykx1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p（1）由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，因为点N在以AB为直径的圆上，所以ANBN，所以1，所以p2（2）易得直线AN：yy1（xx1），直线BN：yy2（xx2），联立，得结合式，解得即N（pk，1）|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则A
13、BN的面积SABN|AB|d2，当k0时，取等号因为ABN的面积的最小值为4，所以24，所以p2，故抛物线C的方程为x24yC组创新应用练1（2021兰州模拟）设抛物线y28x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|4，则BCF与ACF的面积之比（）A BC D解析：由抛物线方程y28x，得焦点F的坐标为（2，0），准线方程为x2如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为E，N设直线AB的方程为yk（x4）（k0），则由消去y并整理得k2x2（8k28）x16k20设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x216由抛物线的定义知|BF|BN|x224，所以x22，所以x18，所以|AE|x1210因为BNAE，所以答案：D2已知抛物线xy2的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），抛物线的准线交x轴于点K，则最小时，直线AK的斜率为（）A1 BC D2解析：xy2可化为y28x如图，过A作准线的垂线，垂足为A1因为|AF|AA1|，所以sinAKA1若最小，则sinAKA1最小，即AKA1最小数形结合可得，直线AK与抛物线y28x相切时，AKA1最小设直线AK的方程为yk（x2），且k0，与y28x联立，得消去x，得ky28y16k0，由6464k20，得k1答案：A
