1、桂林十八中2020-2021学年度20级高一上学期期中考试卷数学注意事项：试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.第卷（选择题，共60分）一.选择题（本题包括12小题.每小题只有一个选项符合题意.每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交并补公式，直接代入求解即可.【详解】先求，.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交并补运算，在高考中属于送分题，属于简单题.2. 函数的定义域是（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分母不等于零，对数的真数大于零联解即可.【详解】由题得 所以函数的定义域为： 故选：D3. 下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是（ ）A. yB. yC. yD. y【答案】A【解析】【分析】画出每个函数的图象，即得解.【详解】y，y，y，y，它们的图象如图所示:由图象知，只有y在(0，)上单调递增故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的单调性结合零点存在性定理，即得结果.【详解】由题意，函数在
3、R上单调递增，且，故函数有且只有一个零点，在区间上.故选：B.5. 下列命题正确的是（ ）A. 棱柱的底面一定是平行四边形B. 棱锥的底面一定是三角形C. 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱【答案】D【解析】【分析】对于选项棱柱的底面不一定是平行四边形，所以该选项错误；对于选项，棱锥的底面不一定是三角形，所以该选项错误；对于选项，棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥，所以该选项错误；对于选项，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，所以该选项正确.【详解】对于选项棱柱的底面也可以是三角形，五边形等，不一定是平行四边形，所以该选项错误；对于选项，棱锥的底面不一
4、定是三角形，也可以是四边形，五边形等，所以该选项错误；对于选项，棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥，所以该选项错误；对于选项，棱柱被平面分成两部分可以都是棱柱，所以该选项正确.故选：D6. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判
5、断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项7. 已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则故选B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据三棱锥的三视图得到直观图，再求其体积即可.【详解】依题意可知，该三棱锥的直观图如下：平面，边上高为2，故体积故选：C.9. 已知函数在上单调递减，则实数的
6、取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据单调性列二次函数的对称轴和区间端点之间的关系，计算即得结果.【详解】函数，开口向上，对称轴为，由在上单调递减，得，即，故.故选：C.10. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）附：A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%【答案】
7、B【解析】【分析】根据题意，计算出的值即可；【详解】当时，当时，因为所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.11. 已知函数，则不等式的解集是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.12. 若(为自然对数的底数)，则函数的最大值为（ ）A. 6B. 13C. 22D
8、. 33【答案】B【解析】【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上最大值即可.【详解】由及知，故定义域为，又令，则，易见y在上单调递增，故当时，即时，.故选：B.【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.第卷（非选择题，共90分）二.填空题（本题包括4题.共20分）13. 设函数，则_.【答案】【解析】【分析】直接根据分段函数解析式代入求值即可；【详解】因为，所以，所以故答案为：14. 已知地球的半径约为6372公里，地球的体积大约是火星的8倍，则火星的半径约为_公里.【答案】【解析】【分析】先利用体积之比求得半径之间的关系，
9、再计算即得结果.【详解】设地球的半径是R，火星的半径是r，则地球的体积，火星的体积，依题意知，即，故，即，而，故.故答案为：.15. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用配凑法，将等式右边的表达式凑成的形式，然后将整体换成即可得到答案【详解】，故答案为【点睛】本题主要考查了复合函数解析式的求法，采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来解决，属于基础题16. 设，给出四个判断：；.其中正确判断的序号是_.【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性判断的正确性，利用对数的运算判断的正确性.【详解】,所以正确；因为，所以不正确；，所以，所以正确；由于，所以正确.故答案为：.【点睛】本题解题关键是
10、对数函数单调性比较大小和对数性质的灵活应用，尤其是换底公式和常用式的灵活转化.三.解答题（本题包括6题，第17题10，第18题至22题每小题12分，共70分）17. 计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）5；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质化简计算即得结果；（2）利用对数的运算法则化简计算即得结果.【详解】解：（1）；（2）.18. 已知集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合B，再进行并集运算即可；（2）由列不等关系，解得参数范围即可.【详解】解：（1）由，得或，所以或，所以或；（2）若
11、，则需，解得，故实数的取值范围为.19. 已知偶函数，当时，.（1）请在下图中做出的图象，并写出的解析式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）图象见解析，；（2）或.【解析】【分析】（1）令，则，即可写出分段函数的解析式，利用二次函数的性质作出分段函数图象即可求解；（2）易知即，所以或，即可求解.【详解】（1）如右图，当时，所以；因为偶函数，所以，所以，所以当时，.综上.（2）易知即，又是偶函数，所以，所以或，解得：或.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是令，则，即可求的解析式，第二问利用偶函数的性质可得.20. 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：年
12、月份第（，）天的单件销售价格（单位：元,第天的销售量（单位：件）为常数），且第天该商品的销售收入为元（销售收入销售价格销售量）.（1）求m的值； （2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？【答案】（1）；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元【解析】【分析】（1）利用分段函数，直接求解推出的值（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可【详解】（1）销售价格第天的销售量（单位：件）为常数），当时，由，解得（2）当时，故当时，当时，故当时，因为，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中
13、档题21. 已知函数.（1）当时，判断并证明的单调性；（2）求不等式的解集.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数单调性定义，判断当时，即可；（2）法一：根据函数得到解析式，解关于的二次型不等式即可.法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将转化为解，分，讨论使得成立时的范围为其解集.【详解】解：（1）设，则因为，所以，所以在上单调递增.（2）法一：原不等式可化为，即，所以，当时，不合题意，舍去；当时，只需解，可化为，所以.综上所述，不等式的解集为.法二：由（1）的解答过程知在上单调递减，在上单调递增，又为奇函数，所以，当时，与上式矛盾，故舍去；当时，上
14、式成立；当时，则，与上式矛盾，故舍去；当时，则，与上式矛盾，故舍去；综上所述，不等式的解集为.【点睛】确定函数单调性的四种方法：（1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.22. 已知函数（1）若值域为，且恒成立，求的解析式；（2）若的值域为，当时，求b的值；求b关于a的函数关系.【答案】（1）；（
15、2）；.【解析】【分析】（1）由对称轴求得，再由最小值求得得解析式；（2）先求出最小值，然后由时，的最小值是0可求得；同先求出的最小值，令，问题转化为在上的最小值是0，根据二次函数性质分类讨论求最小值后可得关系【详解】解：对称轴为，在上单调递减，在上单调递增.（1）因为恒成立，所以对称轴为，故，因为值域为，解得，所以.（2），设，则，.当即时，舍去.当即时，解得（舍）或，综上所述，.，记，设，.若，时，不合题意，即若，当时，矛盾，在上单调递增，所以，所以（若，则与矛盾）所以，即.综上所述，.【点睛】关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，求二次函数的最值在已知函数最小值时，解题关键是设，先由二次函数性质求得的范围，同时设，然后再转化函数在上的最小值为0，由此再利用二次函数性质求解通过换元，再次应用二次函数通过转化实现了问题的解决
