1、第八节 函数与方程及应用授课提示：对应学生用书第285页A组基础保分练1.下列函数中，在（1，1）内有零点且单调递增的是（）A.ylogxB.y2x1C.yx2 D.yx3解析：函数ylogx在定义域上单调递减，yx2在（1，1）上不是单调函数，yx3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y2x1，当x0（1，1）时，y0且y2x1在R上单调递增.答案：B2.函数f（x）2x2x的零点所在的区间是（）A.2，1 B.1，0C.0，1 D.1，2解析：f（2）222（2）0，f（1）212（1）0，f（0）2000，由零点存在性定理知，函数f（x）的零点在区间1，0上.答案：B3.若函数f（x）
2、ax1在区间（1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A.（1，） B.（，1）C.（，1）（1，） D.（1，1）解析：由题意知，f（1）f（1）0，即（1a）（1a）0，解得a1或a1.答案：C4.（2021遵义模拟）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了n（nN）年后，盈利总额达到最大值（盈利总额等于总收入减去总成本），则n等于（）A.6 B.7C.8 D.7或8解析：盈利总额为21n9n2n9.因为其对应的函数的图像的对称轴方程为n，所以当n7时取最
3、大值，即盈利总额达到最大值.答案：B5.（2021福州模拟）已知函数f（x）则函数yf（x）3x的零点个数是（）A.0 B.1C.2 D.3解析：令f（x）3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf（x）3x的零点个数是2.答案：C6.研究发现，当对某学科知识的学习次数x不超过6次时，对该学科的掌握程度f（x）0.115ln.根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121，（121，127，（127，133.当学习某学科知识6次时，其掌握程度是85%，则该学科是（参考数据：e0.051.05，e0.852.34）（）A.甲 B.乙C.丙 D.三者均可能解析：由题意可知，0.11
4、5ln0.85，整理得e0.05，解得a6216126，因为126（121，127，所以该学科是乙.答案：B7.（2020湘赣十四校联考）已知函数f（x）有且只有1个零点，则实数a的取值范围是_.解析：当a0时，函数yax3（x0）必有一个零点，又因为0，解得a1；当a0时，f（x）恰有一个零点；当a0，则f（x）ax30，若x0，则f（x）ax22xa，此时，f（x）恒小于0，所以当a1.答案：a0或a18.（2021唐山模拟）某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的1
5、0%），试问，大约使用年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到14.4万元.解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4（10.9x）2.4x14.4，化简得x60.9x0.令f（x）x60.9x，易得f（x）为单调递增函数，又f（3）1.3740，f（4）0.063 40，所以函数f（x）在（3，4）上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.答案：49.已知函数f（x）x22x，g（x）（1）求g（f（1）的值；（2）若方程g（f（x）a0有4个实数根，求实数a的取值范围.解析：（1）利用解析式直接求解得g（f（1）g（3）312.（2）令
6、f（x）t，则原方程化为g（t）a，易知方程f（x）t在（，1）上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg（t）（t1）与ya的图像有2个不同的交点，作出函数yg（t）（t1）的图像（如图），由图像可知，当1a时，函数yg（t）（t1）与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.10.声强级Y（单位：分贝）由公式Y10lg给出，其中I为声强（单位：W/m2）.（1）平常人交谈时的声强约为106 W/m2，求其声强级；（2）一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？（3）比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5107 W/m2，问这
7、两位同学是否会影响其他同学休息？解析：（1）当声强为106 W/m2时，由公式 Y10lg得Y10lg10lg 10660（分贝）.（2）当Y0时，由公式Y10lg得10lg0.所以1，即I1012 W/m2，则常人能听到的最低声强为1012 W/m2.（3）当声强为5107 W/m2时，声强级Y10lg10lg（5105）5010lg 5，因为5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息.B组能力提升练1.定义在R上的函数f（x）满足f（x）且f（x1）f（x1），若g（x）3log2x，则函数F（x）f（x）g（x）在（0，）内的零点个数为（）A.3 B.2C.1 D.0解析：由
8、f（x1）f（x1），知f（x）的周期是2，画出函数f（x）和g（x）的部分图像，如图所示，由图像可知f（x）与g（x）的图像有2个交点，故F（x）有2个零点.答案：B2.已知函数f（x）若函数g（x）f（x）k仅有一个零点，则k的取值范围是（）A.B.（，0）C.（，0）D.（，0）解析：函数f（x）的图像如图所示，由题知该图像与直线yk只有一个公共点，故k的取值范围为（，0）.答案：D3.（2021衡阳模拟）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元
9、的年份是（参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.3）（）A.2018年 B.2019年C.2020年 D.2021年解析：设开始超过200万元的年份是n，则130（112%）n2 016200，化简得（n2 016）lg 1.12lg 2lg 1.3，所以n2 0163.8，所以n2 020，因此开始超过200万元的年份是2020年.答案：C4.（2021西安模拟）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x（正常情况0x100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分）计算当月绩效工资y元.要求绩效工资不低于50
10、0元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少.则下列函数最符合要求的是（）A.y（x50）2500B.y10500C.y（x50）3625D.y5010lg（2x1）解析：由题意知，函数应满足：单调递增，且先慢后快，在x50左右增长缓慢，最小值为500，A是先减后增，不符合要求；B由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C是由yx3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求.答案：C5.已知函数f（x）x2xa（a0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为_.解析：由题意f（1）f（0）0，所以a（2a）0，
11、所以2a0.答案：（2，0）6.已知函数f（x）若函数g（x）f（x）m有3个零点，则实数m的取值范围是_.解析：作出f（x）的图像如图所示.由于函数g（x）f（x）m有3个零点，结合图像得0m1，即m（0，1）.答案：（0，1）7.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x（单
12、位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）.（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？解析：（1）由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f（50）804150120 277.5（万元）.（2）f（x）804（200x）120x4250，依题意得20x180，故f（x）x4250（20x180）.令t，t2，6，则yt24t250（t8）2282，当t8，即x128时，f（x）取得最大值，f（x）max282.所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元.C组创新应用练1.（
13、2021郑州模拟）已知函数f（x）（aR），若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.（0，1 B.1，）C.（0，1） D.（，1解析：画出函数f（x）的大致图像如图所示.因为函数f（x）在R上有两个零点，所以f（x）在（，0和（0，）上各有一个零点.当x0时，f（x）有一个零点，需00时，f（x）有一个零点，需a0.综上，0a1.答案：A2.李冶（11921279），真定栾城（今河北省石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中
14、水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）步、步.解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为（2r40）步，由题意，得（2r40）23r213.75240，解得r10或r170（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.答案：20603.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析：当t0时，ya；当t8时，yae8ba.故e8b.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt（e8b）3e24b，则t 24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案：16
