1、排列、组合、二项式定理两个计数原理二项式定理排列组合排列概念排列数式组合概念组合数公式组合数性质应用通项公式二项式系数性质应用应用第十二单元 计数原理 知识体系第三节 二项式定理(*)基础梳理011.nnrn rrnnnnnnC aC abC abC b11.rrnnnC xC xxrn rrnC ab0122.nrnnnnnnCCCCC1nxnab1.二项式定理及其特例(1)=;(2)=.特别是当x=1时，得 .2.二项展开式的通项公式 =(r=0,1,2,n).3.二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3,时，二项式系数表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于
2、.1rT nab它肩上两个数的和 4.二项式系数 的性质(1);(2);(3)当 时,;当 时，;(4).01,.,nnnnC CCmn mnnCC 11mmmnnnCCC12nr1rrnnCC 12nr1rrnnCC 012.2nnnnnnCCCC典例分析解 展开式通项 .由题意得 (r=0,1,2,n),故当r=2时，正整数的最小值为5.225132332rn rn rrrn rnrrnnTCxCxx 52502nrnr题型一 求二项式 中的n【例1】如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为.分析根据展开式中含有非零常数项，求得n,r之间的关系，从而求出n.2323nxxnab
3、学后反思 常数项即变量的指数为0，有理项即变量的指数为整数，这都是列方程的依据，根据方程求得关系，再解题.答案：3 举一反三 1.（2009济南模拟）若二项式 的展开式中存在常数项，则正整数n的最小值等于.1nxx解析：二项展开式的通项公式为 由二项展开式中存在常数项，可令n-3r=0,nN*,rN*,且rn,则使得n-3r=0的正整数n的最小值为3.3211nrn rrrrrrnnCxxCx题型二 求项的系数【例2】展开式中 的系数为.341 21xx2x分析 利用通项公式分别写出常数项、含x,项，从而求出系数.2x解 展开式中 项为 所求系数为 341 21xx0 302 221 211
4、312 220 403434341(2)1()1(2)1()1(2)1()CxCxCxCxCxCx0211220343434212624 126C CCCCC 2x学后反思 此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；展开式中的常数项、一次项、二次项分别和 展开式中的二次项、一次项、常数项相乘再求和得整个展开式中的二次项.要注意二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数是不同的概念，其项的系数是指该单项式的系数，而二项式系数仅为Crn,这点要注意区分.31 2x41 x举一反三 2.（2008天津）的二项展开式中，x2的系数是（用数字作答）.52xx答案：40 解析：，令 ,解得r=2.
5、系数为 355215522rrrrrrrTC xC xx 35 2r25240r C题型三 求展开式中的特定项【例3】(14分)在二项式 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式的各项系数的和.3312nxx分析 根据前三项系数的绝对值成等差数列，列出关于n的方程，求出n.解 第一项系数的绝对值为 ，第二项系数的绝对值为 ，第三项系数的绝对值为 ，依题意有 ，解得n=8.2（1）第四项 .4（2）通项公式为 .6 展开式的常数项有8-2r=0，即r=4，所以常数项为 10（3）令x=1，得展开式的各项系数的和为 .14 0nC12
6、nC24nC210242nnnCCC 325333483172TCxxx 88 23318831122rrrrrrrTCxCxx445813528TC 88111122256学后反思 本题旨在训练二项式定理通项公式的运用，但要注意通项 而不是 ，这是最容易出错的地方.1rT rT答案：-20 举一反三 3.(2009四川)的展开式的常数项是(用数字作答).6122xx解析：由题意知2x-12x6的通项为 ,令6-2r=0,得r=3,故常数项为 .6 26 21612rrrrrTCx 336120C 分析 将已知式子适当整理化简，再根据题目要求选择合适的二项展开式求解.题型四 整除问题【例4】（
7、1）求证：(nN*)能被31整除.(2)求 除以9的余数.2511 22.2 n 1227272727.SCCC解 (1)证明：显然 为整数，原式能被31整除.51251510111011212122.22 12132131 113131.311313131.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCC 01113131.nnnnnnCCC(2)是正整数,S被9除的余数为7.学后反思 利用二项式定理解决整除性问题时，关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般将被除式化为含有相关除式
8、的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理.12272792727279091889999908178999.21819 1199.91999.SCCCCCCCCCC 0918899999.CCC举一反三 4.求证：(nN*,且n2).1322nnn解析：利用二项式定理 展开证明.nN*,且n2，展开式中至少有四项,故有 成立.32 1nn 2 1n111112 122.2 1222122nnnnnnnnnCCnnn 1322nnn考点演练10.(2009重庆改编)求 的展开式中x4的系数.822xx解析：设含x4的项为第r+1项,16-3r=4,所以r=4
9、,故系数为 8216 318822rrrrrrrTCxCxx448 21120C11.（2008福建改编）求 展开式中x3的系数.91xx解析：,令9-2r=3得r=3,即 的系数为84.99 2991rrrrrC xC xx 3984C 3x12.设 (1)若a=1,b=-3,c=0.求 的值；（2）若 ,且a-b+c=0,n=5.求正数a、c的积的最大值及对应的a、c的值.221012122.nnnnnnnf xabxcxaa xa xa xaxa x122.nnnaaa0122.1024naaaa解析：（1）a=1,b=-3,c=0，则 ,.又 =f(0)=1,（2）,a+b+c=4,且a-b+c=0,b=a+c0,即2(a+c)=4,a+c=2,a=c=1时，1 3nf xx122.0nnnaaa122.0nnnaaa0a 012.12nnaaaaf 12.21nnaaa 51010242abc 212acacmax1ac
