1、第四节 空间中的垂直关系A组基础对点练1设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分不必要条件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b解析：对于选项C，在平面内存在cb，因为a，所以ac，故ab；选项AB中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；选项D中一定推出ab.答案：C2已知平面，直线l.若，l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直解析：垂直于平面的平面与平面重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面内，则一定垂直于平面，否
2、则不一定，故选项B不正确；垂直于平面的平面可能垂直于直线l，故选项C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直，故选项D正确答案：D3(2021江西南昌模拟)如图所示，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部解析：由ABAC，BDAC，又ABBDB，则AC平面ABD，而AC平面ABC，则平面ABC平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上答案：A4已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面，则下列命题正确的是()A若mn，n，则mB若，
3、m，nm，则nC若ln，mn，则lmD若l，m且lm，则解析：若mn，n，则m或m，故选项A不正确；若，m，nm，则n与相交或n或n，故选项B不正确；若ln，mn，则l与m相交、平行或异面，故选项C不正确；若l，m且lm，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知，故选项D正确答案：D5(2020河北保定模拟)如图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析：因BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，选项A结论成立；易证BC平面P
4、AE，BCDF，所以选项BC结论均成立；点P在底面ABC内的射影为ABC的中心，不在中位线DE上，故选项D结论不成立答案：D6已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是()APABCBBC平面PACCACPBDPCBC解析：AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以ACBC.因为PA平面ABC，所以PABC.因为PAACA，所以BC平面PAC，从而PCBC.答案：C7(2020河北衡水模拟)已知m，n，l是不同的直线，是不同的平面，在下列命题中：若mn，ln，则ml；若m，n，mn，则；若ml，m，l，则；若，l，m，ml，则m.其中正确命
5、题的序号为()A BC D解析：如正方体同一个顶点的三条棱，满足的条件，但三条棱都相交，故错；如图所示，故错；因为ml，m，则l，又l，所以，故正确；由面面垂直的性质知，正确故正确的命题为.答案：B8如图所示，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以
6、平面ACD平面BDE.答案：C9(2019高考北京卷)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况对三种情况逐一验证作为条件，作为结论时，还可能l或l与斜交；作为条件，为结论和作为条件，为结论时，容易证明成立答案：若lm，l，则m(答案不唯一)10在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG垂直的是_(填序号)解析：如图所示，在正方体中，E，F
7、，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项中的直线BD1与平面EFG不垂直，不满足题意答案：11如图所示，ABC和BCE是边长为2的正三角形，且平面ABC平面BCE，AD平面ABC，AD2.证明：DEBC.证明：取BC的中点F，连接AF，EF，BD，DF，因为BCE是正三角形，所以EFBC.又因为平面ABC平面BCE，且交线为BC，所以EF平面ABC.又因为AD平面ABC，所以ADEF，所以D，A，F，E共面易知在正三角形ABC中，AFBC，AFEFF，所以BC平面DAFE.又因为
8、DE平面DAFE，故DEBC.12如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别为BB1，AC的中点(1)求证：BF平面A1EC；(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.证明：(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OAOC1.又因为F为AC中点，所以OFCC1且OFCC1.因为点E为BB1中点，所以BECC1且BECC1，所以BEOF且BEOF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.又因为BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE，因为ABCB，F为AC中点，
9、所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BFOE，得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.B组素养提升练1(2020河北沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABCDEF，则下列结论不正确的是()ACD平面PAFBDF平面PAFCCF平面PABDCF平面PAD解析：选项A中，CDAF，AF平面PAF，CD平面PAF，CD平面PAF成立；选项B中，六边形ABCDEF为正六边形，DFAF.又PA平面ABCDEF，
10、PADF，DF平面PAF成立；选项C中，CFAB，AB平面PAB，CF平面PAB，CF平面PAB；而选项D中CF与AD不垂直答案：D2在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于_解析：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN平面AEFD，过点M作平面，使平面AEFD，则平面与正方体表面的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2，所以所求轨迹的周长为2.答案：23(2020河北石家庄质量检测)如图所示，已知三棱柱ABCA
11、1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，平面ABB1A1平面ACC1A1.(1)求证：A1B平面AB1C；(2)若A1BAB1O，AB2，ABB160，求三棱锥C1COB1的体积解析：(1)证明：因为平面ABB1A1平面ACC1A1，侧面ACC1A1为正方形，所以AC平面ABB1A1，所以A1BAC.因为侧面ABB1A1为菱形，所以A1BAB1，又ACAB1A，所以A1B平面AB1C.(2)因为A1C1AC，A1C1平面AB1C，AC平面AB1C，所以A1C1平面AB1C.连接A1C(图略)，则三棱锥C1 COB1的体积等于三棱锥A1 COB1的体积因为A1B平面AB1C
12、，所以A1O为三棱锥A1COB1的高因为AB2，ABB160，侧面ABB1A1为菱形，所以AB12，A1B2，所以OB11，OA1，所以SCOB1OB1CA121，所以V三棱锥C1COB1V三棱锥A1COB1A1OSCOB11.4(2021河南郑州模拟)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB；(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：连接PF，PAD是等边三角形，F是AD的中点，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD，BFAD.又PFBFF，AD平面BFP，又PB平面BFP，ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面ABCD平面PAD.又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，PF平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于点G，GH平面ABCD.又GH平面DEG，平面DEG平面ABCD.ADBC，DFHECH，GHPF，VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsin GH.
