1、第七章 立体几何 第五节 空间向量及其应用A组基础对点练1(2021河北、山西、河南三省联考)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A BC D解析：取BC的中点O，连接OP，AO，因为ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA是二面角PBCA的平面角，即POA120，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则PBD或其补角是异面直线PB和AC所成的角，设ABa，则PBBDa，POPDa，所以cos PBD.答案：A2(2020河南示范性高中第二次联考)某三棱锥PABC的三视图
2、如图所示，P，A，B，C在三视图中所对应的点分别为P，A，B，C，则二面角 ABCP的余弦值为()A BC D解析：三棱锥PABC如图所示，作ADBC，垂足为D，连接PD，易知ADP是二面角ABCP的平面角，因为ABAC，AB4，AC3，所以BC5，则AD.又PA平面ABC，AD平面ABC，所以PAAD，所以PD，从而cos ADP.答案：D3(2020河北示范性高中联合体联考)正方体ABCD A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E，F，G，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为()A BC D解析：正方体ABCD A1B1C1D1的棱上到直线A1
3、B与CC1的距离相等的点分别为D1，BC的中点，B1C1的四等分点(靠近B1)，不妨设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点(靠近B1)为F.以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，设AB2，则E(1，2，0)，F，G(0，0，2)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，从而，AC1(2，2，2).设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则nn0，即x2zx2y0，令x4，得n(4，3，1).设直线AC1与平面EFG所成角为，则sin |cos n，AC1|.答案：D4已知在直二面角l中，A，B，A，B都不在l上，AB与所成的角为x，AB与所成的角为y，AB与l所成的角
4、为z，则cos2xcos2ysin2z的值为()A B2C3 D解析：过点A，B分别作ACl，BDl，垂足分别为C，D，过点B作直线平行于l，过点C作直线平行于BD，两直线交于点E，连接AD，BC，AE(图略).因为二面角l为直二面角，BD，l，BDl，所以BD.同理AC.又BAD，ABC分别为AB与平面，所成的角，所以有BADx，ABCy.因为BEl，所以EBAz.因为ECBD，所以ECl，又AC，所以ACl，所以l平面AEC，所以AEl，即AEBE，所以cos2xcos2ysin2z2.答案：B5已知平面，且与的距离为d(d0)，m，则在内与直线m的距离为2d的直线共有_条解析：由题意得平
5、面内与直线m的距离为2d的直线为以直线m为中心线，半径为2d的圆柱面与平面的交线，易知交线有2条答案：26.如图所示，已知AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上若PAAB2，ACBC，则二面角PACB的正切值是_解析：取AC的中点D，连接OD，PD(图略)，则ODAC，PDAC，PDO是二面角PACB的平面角PAAB2，ACBC，PO，OD，二面角PACB的正切值tanPDO.答案：7.如图所示，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的
6、正弦值解析：(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)如图所示，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF，所以PH，EH，则H(0，0，0)，P，D，.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，则sin ，所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.B组素养提升练1如图所示，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，A
7、B2，BAD60，M，N分别是BB1，A1D的中点求二面角AMA1N的正弦值解析：取BC的中点为E，则DEDA，以D为坐标原点的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，2)，N(1，0，2)，A1A(0，0，4)，A1M(1，2)，A1N(1，0，2)，(0，0).设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1，0).设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2，0，1).于是cos m，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.2.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分
8、别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC，ACAA12.(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值解析：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.因为ABBC，所以ACBE，所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC.因为BE平面ABC，所以EFBE.如图所示，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1)，所以(1，2，0)，
9、(1，2，1).设平面BCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即令y01，则x02，z04.于是n(2，1，4).又因为平面CC1D的法向量为(0，2，0)，所以cos n，.由题意知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为.3(2020安徽江南十校联考)斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1B，A1ABA1AC60.(1)证明：平面A1BC平面ABC；(2)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值解析：(1)证明：AB2，A1B，A1AB60，由余弦定理得A1B2AAAB22AA1AB cos A1AB，即AA2AA130AA13或1(舍)，故AA13.取BC的中点
10、O，连接OA，OA1，ABC是边长为2的正三角形，AOBC，且AO，BO1.由ABAC，A1ABA1AC，AA1AA1得A1ABA1AC，得A1BA1C，故A1OBC，且A1O.AO2A1O2369AA，AOA1O.又BCAOO，故A1O平面ABC.A1O平面A1BC，平面A1BC平面ABC.(2)以O为原点，OB所在的直线为x轴，取B1C1的中点K，连接OK，以OK所在的直线为y轴，过O作OGAA1，以OG所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，B1(1，3，0)，C1(1，3，0)，A1(0，2，)，BC1(2，3，0)，BB1(0，3，0)，BA1(1，2，)，设平面AB
11、B1A1的一个法向量为m(x，y，1)，则m(，0，1).设直线BC1与平面ABB1A1所成角为，则sin ，故直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.4如图所示，在ABC中，O是BC的中点，ABAC，AO2OC2，将BAO沿AO折起，使B点到达B点(1)求证：AO平面BOC；(2)当三棱锥BAOC的体积最大时，试问在线段BA上是否存在一点P，使CP与平面BOA所成的角的正弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：因为ABAC且O是BC的中点，所以AOBO，AOCO，由折叠知AOBO，又因为COBOO，所以AO平面BOC.(2)法一：不存在，证明如下：当BO平
12、面AOC时，三棱锥BAOC的体积最大，在直角三角形CPO中，CO1，COP，sin CPO，所以PC，所以OP，易求得O到直线AB的距离为，所以满足条件的点P不存在法二：不存在，证明如下：当BO平面AOC时，三棱锥BAOC的体积最大，所以OCOB，故OA，OB，OC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz，则A(2，0，0)，B(0，0，1)，C(0，1，0)，设(2，0，)，则(22，1，)，又因为平面BOA的法向量n(0，1，0)，依题意得，得，化简得1021670，此方程无解，所以满足条件的点P不存在5(2021河南郑州模拟)如图所示，在四边形ABCD中，ABCD，BCD，四边形AC
13、FE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解析：(1)证明：在梯形ABCD中，设ADCDBC1，ABCD，BCD，AB2，AC2AB2BC22ABBCcos 3，AB2AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF.又CFBCC，AC平面BCF.四边形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF.(2)以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，设ADCDBCCF1，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，(，1，0)，(，1，1)，设平面MAB的法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，则n1(1，)为平面MAB的一个法向量易知n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，则cos .0，当0时，cos 有最小值，当点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.
