1、数 学 大二轮复习第一部分专题强化突破专题二 函数、不等式、导数第四讲 导数的简单应用(文)第四讲 导数的简单应用与定积分(理)1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦高考考点考点解读导数的几何意义(文)1.求过某点的切线的斜率、方程或切点的坐标2根据过某点切线方程或其与某线平行、垂直等求参数的值导数与定积分的几何意义(理)1.确定或应用过某点的切线的斜率(方程)2定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积利用导数研究函数的单调性1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性(区间)2根据函数的单调性，利用
2、导数求某些参数的取值范围利用导数研究函数的极值和最值1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值2根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)理解并掌握求导公式和求导法则及定积分的计算公式及性质(2)熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、函数的单调性、极(最)值问题的方法和规律 预测2018年命题热点为：(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含ex)，对数式(主要含ln x)及三角式(主要含sin x，cos x)
3、函数的单调性、极(最)值问题核心知识整合 1基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x(R)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)ax(a0，a1)f(x)_f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，且a1)f(x)_ f(x)ln xf(x)_ 0 x1 cos x sin x axln a ex 1xln a1x2导数四则运算法则(1)f(x)g(x)_(2)f(x)g(x)_(3)fxgx_(g(x)0)(4)(理)若 yf(u)，uaxb，则 yx_，即 yxayuf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g
4、(x)f xgxfxgxgx2 yuux 3切线的斜率 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k_，相应的切线方程为_ 4函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果_，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增(单调递减)f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)f(x0)0(f(x0)0)5函数的极值 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有_，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有_，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值
5、与极小值统称为极值 6函数的最值 将函数yf(x)在a，b内的_与_，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值f(x)f(x0)各极值 端点处的函数值f(a)，f(b)比较 7(理)(1)定积分的性质(1)abkf(x)dxkabf(x)dx；(2)abf1(x)f2(x)dx_(3)abf(x)dx_(其中 ac0，故选项D确，故选D2(2017全国卷，11)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值是导学号 52134275()A1 B2e3 C5e3 D1A 解析 函数f(x)(x2ax1)ex1 则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1 ex1x
6、2(a2)xa1 由x2是函数f(x)的极值点得 f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1 所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0 所以x1是函数f(x)的极小值点 所以函数f(x)的极小值为f(1)1 故选A3(2016山东卷，10)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是导学号 52134276()Aysin xByln xCyexDyx3A 解析(1)对于函数ysin x，yc
7、os x，设图象上存在这样两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，那么两切线的斜率k1cos x1，k2cos x2，令k1k2cos x1cos x21，则x12k，x22k(x22k，x12k)，kZ，即存在这样的两点，所以具有T性质(2)对于函数 yln x，y1x，k1k21x11x2，而 x10，x20，所以 k1k21，所以函数 yln x 不具有 T 性质(3)对于函数 yex，yex，k1ex1，k2ex2，显然均大于 0.所以函数 yex不具有 T 性质(4)对于函数 yx3，y3x2，k13x21，k23x22，显然 k1k21，所以函数yx3不具有 T 性质4
8、(2016四川卷，6)已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a导学号 52134277()A4 B 2 C4 D2D 解析 f x 3x2123x2 x2，令 f x 0，得 x2 或 x2，易知 fx 在2，2 上单调递减，在2，上单调递增，故 fx 的极小值为 f2，所以 a25(2017全国卷，14)曲线 yx21x在点(1,2)处的切线方程为_.导学号 52134278xy10 解析 y2x1x2，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k1，切线方程为 y2x1，即 xy106(文)(2016天津卷，10)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)
9、的导函数，则 f(0)的值为_.导学号 521342793 解析 因为f(x)(2x3)ex，所以f(0)3(理)(2016全国卷，15)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln(x)3x，则 曲 线 y f(x)在 点(1，3)处 的 切 线 方 程 是 _.导学号 521342802xy10 解析 设 x0，则x0，因为 x0)上点P处的切线垂直，则 P 的坐标为_.导学号 52134281命题方向1(文)导数的几何意义(理)导数的几何意义与定积分(1,1)解析 yex，则 yex在点(0,1)处的切线的斜率 k 切1，又曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线与 yex在点(0,
10、1)处的切线垂直，所以 y1x(x0)在点 P 处的斜率为1，设 P(a，b)，则曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线的斜率为 y|xaa21，可得 a1，又 P(a，b)在 y1x上，所以 b1，故 P(1,1)(2)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_.导学号 521342823 解析 yax2bx，y2axbx2，由题意可得4ab25，4ab472，解得a1，b2.ab3(3)(理)若函数 f(x)，g(x)满足1 1 f(x)g(x)dx0，则称 f(x)，g(
11、x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sin12x，g(x)cos12x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2其中为区间1,1上的正交函数的组数是导学号 52134283()A0 B1 C2 D3C 解析 对于，1 1(sin12xcos12x)dx1 1 12sin xdx121 1 sin xdx12(cos x)|1112cos 1cos(1)12(cos 1cos 1)0故为一组正交函数；对于，1 1(x1)(x1)dx1 1(x21)dx(13x3x)|11131(131)232430，故不是一组正交函数；对于，1 1(xx2)dx11x3dx(14x
12、4)|110故为一组正交函数故选 C 规律总结 1求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程 设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程 2根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切
13、点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解 3(理)利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 关键点一：正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值 关键点二：根据图形的特征，选择合适的积分变量在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值 易错提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标1若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点(0，m)处有公切线，则ab 的值为导学
14、号 52134284()A1 B0 C1 D2C 解析 依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 020b，b0；mf(0)g(0)，即ma1，因此ab12(2017重庆巴蜀中学模拟)已知曲线 y 2xx1在点 P(2,4)处的切线与直线 l平行且距离为 2 5，则直线 l 的方程为导学号 52134285()A2xy20B2xy20 或 2xy180C2xy180D2xy20 或 2xy180B 解析 y2x12xx122x12y|x222122，因此 k12，设直线 l 方程为 y2xb，即 2xyb0，由题意得|224b|52 5，解得 b18
15、或 b2，所以直线 l 的方程为2xy180 或 2xy20故选 B3(理)(2017淄博一模)由直线 x12，x2，曲线 y1x及 x 轴所围成的图形的面积是导学号 52134286()A154B174C12ln 2 D2ln 2D 解析 由定积分的几何意义，得围成的面积122 1xdxln x|ln 2ln12ln 42ln 2(文)(2015 全 国 卷 ，21)已 知 函 数 f(x)ln x a(1 x).导学号 52134287()讨论 f(x)的单调性；()当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围命题方向2 利用导数研究函数单调性分析()由 f(x)1x
16、a，可分 a0，a0 两种情况来讨论()由()知当 a0 时，f(x)在(0，)无最大值当 a0 时，f(x)最大值为 f1a 2a2，即ln aa10，f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0，当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a取得最大值，最大值为 f1a ln1a a11a ln aa1.因此 f1a 2a2等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上是增函数，且 g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此 a 的取值范围是(0,1)(理)已知函数 f(x)ax3bx2cx(a0，xR)为奇
17、函数，且 f(x)在 x1 处取得极大值 2.导学号 52134288(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)记 g(x)fxx(k1)lnx，求函数 yg(x)的单调区间；(3)在(2)的条件下，当 k2 时，若函数 yg(x)的图象在直线 yxm 的下方，求 m 的取值范围解析(1)f(x)ax3bx2cx(a0)为奇函数，所以 f(x)f(x)代入得 b0所以 f(x)3ax2c，且 f(x)在 x1 取得极大值 2所以f 10，f12，3ac0，ac2.解得 a1，c3，所以 f(x)x33x(2)因为 g(x)x23(k1)lnx，所以 g(x)2x(k1)1x2x2k1x因为函数定
18、义域为(0，)，所以当 k1 时，k10，g(x)2x0，函数在(0，)上单调递减；当 k1 时，k10，所以 g(x)2x2k1x1 时，k10，令 g(x)0，得2x2k1x0，因为 x0，所以2x2(k1)0，即k12 x0，得 0 xk12；令 g(x)0，得2x2k1x(k1)，xk12，所以 k1 时，单调递增区间为(0，k12)，单调递减区间为(k12，)综上，当 k1 时，函数的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当 k1 时，函数的单调递增区间为(0，k12)，单调递减区间为(k12，)(3)当 k2 时，g(x)x233lnx，令 h(x)g(x)(xm)x2x3lnx
19、3m，h(x)2x13x，令 h(x)0，2x2x3x0，得x1，x32(舍去)由函数yh(x)定义域为(0，)知，当0 x0，当x1时h(x)0，所以当x1时，函数h(x)取得最大值1m 要使函数yg(x)的图象在直线yxm的下方，则1m1 故m的取值范围是(1，)规律总结 1导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间(2)函数f(x)在D上单调递增xD，f(x)0且f(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零；函数f(x)在D上单调递减xD，f(x)0且f(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零 2根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f(x)(2)将单调
20、性转化为导数f(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解(文)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值.导学号 52134289(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，讨论 g(x)的单调性解析(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f(43)0，即 3a169 2(43)16a3 830，解得 a12(2)由(1)得 g(x)(12x3x2)ex，故 g(x)(32x22x)ex(12x3x2)ex(12x352x22x)ex12x(x1)(x4)ex令 g(x)0，解得 x0，x1 或 x4当 x4 时，g(x
21、)0，故 g(x)为减函数；当4x0，故 g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数综上知 g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数(理)(2017西安质检)已知函数 f(x)mx2xln x.导学号 52134290(1)若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在区间 D 上为减函数，求实数 m 的取值范围；(2)当 0m12时，若曲线 C：yf(x)在点 x1 处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求 m 的值或取值范围解析(1)f(x)2mx11x2mx2x1x，即 2mx2x10 时，由于函数
22、y2mx2x1 的图象的对称轴 x 14m0，故需且只需0，即 18m0，故 0m18综上所述，m18，故实数 m 的取值范围为(，18)(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为ym12m(x1)，即 y2mxm1从而方程 mx2xln x2mxm1 在(0，)上有且只有一解设 g(x)mx2xln x(2mxm1)，则 g(x)在(0，m)上有且只有一个零点又 g(1)0，故函数 g(x)有零点 x1则 g(x)2mx11x2m2mx22m1x1x2mx1x1x当 m12时，g(x)0，又 g(x)不是常数函数，故 g(x)在(0，)上单调递增函数 g(x)有且只有一个零点 x1，满足
23、题意当 0m1，由 g(x)0，得 0 x 12m；由 g(x)0，得 1x 12m故当 x 在(0，)上变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，12m)12m(12m，)g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知 g(12m)0，故在(12m，)上，函数 g(x)又有一个零点，不符合题意综上所述，m12.(文)设 f(x)13x312x22ax(1)若 f(x)在(23，)上存在单调递增区间，求 a 的取值范围(2)当 0a0，得 a19所以，当 a19时，f(x)在(23，)上存在单调递增区间(2)令 f(x)0，得两根 x11 18a2，x21 18a2所以 f(
24、x)在(，x1)、(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当 0a2 时，有 x11x24，所以 f(x)在1,4上的最大值为 f(x2)，又 f(4)f(1)272 6a0，即 f(4)f(1)所以 f(x)在1,4上的最小值为 f(4)8a403 163，得 a1，x22，从而 f(x)在1,4上的最大值为 f(2)103(理)已知函数 f(x)excos xx.导学号 52134292(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值解析(1)因为 f(x)excos xx，所以 f(x)ex(cos xsin x)1，f
25、(0)0又因为 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1(2)设 h(x)ex(cos xsin x)1，则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x当 x(0，2)时，h(x)0，所以 h(x)在区间0，2上单调递减所以对任意 x(0，2有 h(x)h(0)0，即 f(x)0所以函数 f(x)在区间0，2上单调递减因此 f(x)在区间0，2上的最大值为 f(0)1，最小值为 f(2)2 规律总结 利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤 求定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，研究极值情况；确定
26、f(x0)0时x0左右的符号，定极值(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来讨论求解(3)求函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 提醒：(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；(2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论已知函数 f(x)ex2x23x.导学号 521
27、34293(1)求证：函数 f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点(2)当 x12时，若关于 x 的不等式 f(x)52x2(a3)x1 恒成立，试求实数 a的取值范围解析(1)f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0，f(x)在区间0,1上单调递增，f(x)在区间0,1上存在唯一零点，f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)由 f(x)52x2(a3)x1，得ex2x23x52x2(a3)x1，即 axex12x21，x12，aex12x21x令 g(x)ex12x21x，则 g(x)exx112x21x2令(x)ex(x1)12x21，则(x)x(ex1)x12，(x)0(x)在12，)上单调递增(x)(12)7812 e0因此 g(x)0，故 g(x)在12，)上单调递增，则 g(x)g(12)e12181122 e94，a 的取值范围是 a2 e94课后强化训练
