1、1.5.3微积分基本定理明目标、知重点1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分1微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，即F(x)dxF(b)F(a)2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则f(x)dxS上(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则f(x)dxS下(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则f(x)dxS上S下，若S上S下，则f(x)dx0.情境导学从前面的学习中可以
2、发现，虽然被积函数f(x)x3非常简单，但直接用定积分的定义计算x3dx的值却比较麻烦有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是sy(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)y(t)设这个物体在时间段a，b内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是sy(t)知：sy(b)y(a)，通过求定积分的几何意义，可得sv(t)dty(t)dt，所以v(t)
3、dty(t)dty(b)y(a)其中v(t)y(t)小结(1)一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理(2)运用微积分基本定理求定积分f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F(x)f(x)的F(x)思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F(x)f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数c，F(x)cF(x)cf(x)不影响，因为f(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a)例1计算下列定积分：(1)dx；(2)(2x
4、)dx；(3)(cos xex)dx.解(1)因为(ln x)，所以dxln 2ln 1ln 2.(2)因为(x2)2x，()，所以(2x)dx2xdxdxx2|(91)(1).(3)因为(sin x)cos x，(ex)ex，所以(cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限跟踪训练1若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为_答案S2S1S3解
5、析S1x2dxx3|，S2dxln x|ln 2.所以S2S10，所以f(1)lg 10.又x0时，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因为ff(1)1，所以a31，解得a1.9设函数f(x)ax2c (a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_答案解析(ax2c)dxaxc，ax，a0，x，又0x01，x0.10.设f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，则f(x)的解析式为_答案f(x)4x3解析因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbx
6、dxab.由得11.已知f(a)(2ax2a2x)dx，求f(a)的最大值解(ax3a2x2)2ax2a2x，(2ax2a2x)dx(ax3a2x2)|aa2，即f(a)aa2(a2a)(a)2，当a时，f(a)有最大值.12.物体A以速度vA3t21(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？解设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为sAvAdt(3t21)dta3a；B从开始到a秒末所走的路程为sBvBdt10tdt5a2.由题意得sAsB5，即a3a5a25，得a5.此时sA535130(米)，sB552125(米)故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米三、探究与拓展13求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积解由得或所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S(x2)dx(x24)dx(2xx2)|(x34x)|().
