1、第八章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定与性质 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题.知 识梳 理 诊 断 1直线与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为_).l线线平行线面平行(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 交 线 平 行(简 记
2、_).ab线面平行线线平行2.平面与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条_都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为_)相交的直线线面平行面面平行(2)两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两平行平面同时和第三个平面_，那 么 它 们 的 _ 平行ab相交交线1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)若直线
3、a，P，则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条()(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()答案(1)(2)(3)(4)(5)2若直线 m平面，则条件甲：“直线 l”是条件乙：“lm”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 若 l，则 lm 或 l 与 m 异面；若 lm，则 l 或 l，故“直线 l”是“lm”的既不充分也不必要条件答案 D3若 P 为异面直线 a，b 外一点，则过 P 且与 a，b 均平行的平面()A不存在B零个或一个C可以有两个D有无数多个解析 若 P 点与直线 a(或 b)确定的平面与直线 b(或 a
4、)平行，则符合条件的平面不存在；否则，符合条件的平面有一个故选 B.答案 B4直线 m，n 均不在平面，内，给出下列命题：若 mn，n，则 m；若 m，则 m；若 mn，n，则 m；若 m，则 m.其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析 由空间直线与平面平行关系可知正确；由空间直线与平面平行关系可知正确；由线面垂直，线面平行的判定和性质可知正确；由线面垂直，面面垂直可知正确故选 D.答案 D5如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC上的点，A1MAN2a3，则 MN 与平面BB1C1C 的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定解析 连接
5、 CD1、AD1，在 CD1 上取点 P，使 D1P2a3，连接 MP、NP，MPBC，PNAD1，MP平面BB1C1C，PN平面 AA1D1D，又平面BB1C1C平面 AA1D1D，平面 MNP平面 BB1C1C，MN平面 BB1C1C.答案 B6已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中心，点Q 是 B1D1 上一点，且 PQ面 AB1，则线段 PQ 长为_ 解析 连接 AB1、AD1，点 P 是平面 AA1D1D 的中心，点 P 是 AD1 的中点，PQ平面 AB1，PQ平面 D1AB1，平面 D1AB1平面 AB1AB1，PQAB1，PQ12A
6、B1 22.答案 22考 点题 型 突 破 考点一 平行关系的判断自练型 (1)(2015北京卷)设，是两个不同的平面，m是直线且 m.“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)设 m，n 表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是()A若 m，mn，则 nB若 m，n，m，n，则 C若，m，mn，则 nD若，m，nm，n，则 n(3)设互不相同的直线 l，m，n 和平面，给出下列三个命题：若 l 与 m 为异面直线，l，m，则；若，l，m，则 lm；若 l，m，n，l，则 mn.其中真命题的个数为_解析(1)若 m 且 m，则平面
7、与平面 不一定平行，有可能相交；而 m 且 一定可以推出 m，所以“m”是“”的必要而不充分条件(2)A 错误，n 有可能在平面 内；B 错误，平面 有可能与平面 相交；C 错误，n 也有可能在平面 内；D 正确，易知 m 或 m，若 m，又 nm，n，n，若 m，过 m 作平面 交平面 于直线 l，则 ml，又 nm，nl，又 n，l，n.(3)中 与 可能相交，故错；中 l 与 m 可能异面，故错；由线面平行的性质定理可知，lm，ln，所以 mn，故正确答案(1)B(2)D(3)1平行关系判断问题的注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中线在面外的条件易忽视(2
8、)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确考点二 直线与平面平行的判定与性质 互动型 如 图，四 棱 锥 P ABCD 中，ADBC，ABBC12AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：GH平面 PAD.证明(1)连接 EC，ADBC，BC12AD，BCAE，四边形 ABCE 是平行四边形，O 为 AC 的中点又F 是 PC 的中点，FOAP，FO平面 BEF，AP平面 BEF，AP平面 BEF.(2)连接 FH，OH，F，H 分别是 P
9、C，CD 的中点，FHPD，FH平面 PAD.又O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，OHAD，OH平面 PAD.又 FHOHH，平面 OHF平面 PAD.又GH平面 OHF，GH平面 PAD.证明线面平行的 3 种方法(1)线面平行的定义：一般用反证法(2)线面平行的判定定理：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程(3)面面平行的性质定理：两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面如图，三棱柱 ABCA1B1C1，底面为正三角形，侧棱 A1A底面 ABC，点 E、F 分别是棱 CC1、BB1 上的点，点 M 是线段 AC 上的动点
10、，EC2FB.当点 M 在何位置时，BM平面AEF?解 解法一：如图 1，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点O 作 OMAC 于点 M.图 1侧棱 A1A底面 ABC，侧面 A1ACC1底面 ABC，OM底面 ABC.又EC2FB，OMFB12EC，四边形 OMBF 为矩形，BMOF，又OF平面 AEF，BM平面 AEF.故 BM平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点解法二：如图 2，取 EC 的中点 P，AC 的中点 Q，连接PQ、PB、BQ，图 2PQAE.EC2FB，PEBF，PBEF，PQ平面 AEF，PB平面 AEF.又 PQPBP，平面 PBQ平面 AEF，又BQ平面 PQ
11、B，BQ平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 AC 的中点考点三 平面与平面平行的判定与性质 互动型 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明(1)G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，GH 是A1B1C1 的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E，F 分别是 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1GEB，四边形 A1EBG 是
12、平行四边形，A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面 BCHG.A1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.拓展探究 在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M，四边形 A1ACC1 是平行四边形，M 是 A1C 的中点，连接 MD，D 为 BC 的中点，A1BDM.A1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1，DM平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，四边形 BDC1D1 为平行四边形，DC1BD1.又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1，D
13、C1平面 A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D，平面 A1BD1平面 AC1D.证明面面平行的 4 种方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(2016河南许昌三校第三次考试)如图所示，四边形 ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M，N，G分别是 AB，AD，EF 的中点求证：(1)BE平面 DMF；(2)平面 BDE平面 MNG.证明(1)如图所示，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点
14、 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO.因为 BE平面 DMF，MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN.因为 DE平面 MNG，GN平面 MNG，所以 DE平面MNG.因为 M 为 AB 的中点，所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN.因为 BD平面 MNG，MN平面 MNG，所以 BD平面MNG.因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE平面 MNG.课 堂归 纳 小 结 方法技巧1.平行问题的转化关系2直线与平面平行的重要判定方法(1)定
15、义法；(2)判定定理；(3)面与面的平行性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.各种关系能相互转化，特别要关注转化所需条件是什么.易错点睛1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误2解题时注意符号语言的规范应用.名 师微 课 导 学 课题 40：证明线面平行常用方法名师导学：证明直线与平面平行常用方法有以下几种：直线与平面平行的判定定理法、平面与平面平行的性质定理法、向量法以判定定理法和性质定理法举例讲解，向量法在本章第七节详细讲解 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于AB，在 AE，BD 上各有一点 P，Q
16、，且 APDQ.求证：PQ平面 BCE.切入点 在平面 BCE 内找一条直线与 PQ 平行或过 PQ找一平面与平面 BCE 平行关键点 证法一：借助 BE、BC 的分点 M、N，得平行四边形 PMNQ，进而得 PQMN；证法二：借助 AB 的分点 M，得平面 PMQ平面 BCE.证明(1)证法一：(判定定理法)如图所示作 PMAB 交 BE 于点 M，作 QNAB 交 BC 于点 N，连接 MN.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，AEBD.又 APDQ，PEQB.又 PMABQN，PMABPEAEQBBD，QNDCBQBD.PMAB QNDC.PMQN，即四边形 PMNQ
17、为平行四边形PQMN.又 MN平面 BCE，PQ平面 BCE，PQ平面 BCE.证法二：(性质定理法)如图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PMBE，交AB 于点 M，连接 QM.PM平面 BCE，PM平面 BCE，且APPEAMMB，又 AEBD，APDQ，PEBQ，APPEDQBQ.AMMBDQQB.MQAD.又 ADBC，MQBC.又 MQ平面 BCE，MQ平面 BCE.又 PMMQM，平面 PMQ平面 BCE.又 PQ平面 PMQ，PQ平面 BCE.证明线面平行时，若利用判定定理证明，关键是找到平面内与直线平行的直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边、比例线段找出该直线，
18、若利用面面平行证线面平行，关键是找出两个面平行的条件(2015福建卷节选)如图，在几何体 ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点求证：GF平面 ADE.证明 证法一：如右图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，又 G 是 BE 的中点，所以 GHAB，且 GH12AB.又 F 是 CD 的中点，所以 DF12CD.由四边形 ABCD 是矩形得，ABCD，ABCD，所以 GHDF，且 GHDF，从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH.又 DH平面 ADE，GF平面 ADE，所以 GF平面 ADE.证法二：如右图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF.又 G 是 BE 的中点，所以 GMAE.又 AE平面 ADE，GM平面ADE，所以 GM平面 ADE.在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得MFAD.又 AD平面 ADE，MF平面 ADE，所以 MF平面 ADE.又因为 GMMFM，GM平面 GMF，MF平面 GMF，所以平面 GMF平面 ADE.因为 GF平面 GMF，所以 GF平面 ADE.请做：课时跟踪训练（四十）
