1、广东省广州市番禺区洛溪新城中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题本试卷分第卷和第卷两部分,满分150分.考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、学校和考号等信息填写在答题卡上和第二卷的密封线内，在第二卷的右上角座位号栏内填上所处试室的座位号。2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；不能答在试卷上。3.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡和第II卷答卷交给监考老师。4.考生考试期间不准使用计算器。第卷一、 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限2、曲线在点（1，2）处的瞬时变化率为()A 2 B 4 C 5 D 63曲线y4xx3在点(1，3)处的切线方程是()Ay7x4 Byx4 Cy7x2 Dyx24下列函数中，x0是其极值点的函数是()Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)5已知函数yf(x)的导函数yf (x)的图象如图所示，则( )A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大
3、值点，1个极小值点D函数f(x)有1个大值点，3个极小值点6用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个7函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()8已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，)(，) B(，)C(，) D，9曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离为( )A B2C3 D210某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定
4、下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A.36种B.24种C.22种D.20种11已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f (x)1，则f(x)x的解集是( )A(0,1) B(1,0)(0,1)C(1，) D(，1)(1，) 12把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A12 B1C21 D2第II卷 (共90分)二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知复数z满足（i是虚数单位），则z= 。14 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种（用数字填写答案）
5、15已知函数f(x)x32ax23x，其中aR, 若函数f(x)在x1处取得极大值，则a = 16设则= 三解答题（本题包括6小题，17题题10分，18-22题每题12分，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数（1） 求函数的最小正周期。 （2） 求函数的最大值及取最大值时x的集合。 (3)求函数的单调递减区间.18.已知等差数列满足：，的前n项和为（）求和；（）令，求数列的前n项和19已知函数f(x)x32ax2bxc，(1)当c0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线yx2，求a，b的值；(2)若f(x)在点A(1,8)，B(3，24)处有极值，求f(x)
6、的表达式20已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立21 已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由22已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x.(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区
7、间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。一选择1 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ D ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3、曲线在点（1，2）处的瞬时变化率为( B )A 2 B 4 C 5 D 62曲线y4xx3在点(1，3)处的切线方程是(D)Ay7x4 Byx4Cy7x2 Dyx2解析y|x1(43x2)|x11，切线方程为y3x1，即yx2.4(2019青岛高二检测)下列函数中，x0是其极值点的函数是(B)Af(x)x3 Bf(
8、x)cosxCf(x)sinxx Df(x)解析对于A，f(x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f(x)sinx，当x(，0)时，f(x)0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f(x)cosx10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B9(2019沈阳一模)设函数f(x)xex1，则(D)Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析由于f(x)xe
9、x，可得f (x)(x1)ex，令f (x)(x1)ex0可得x1，令f (x)(x1)ex0可得x1，即函数在(1，)上是增函数；令f (x)(x1)ex0可得x1，即函数在(，1)上是减函数，所以x1为f(x)的极小值点故选D6用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个解析：选C当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A24(个)；当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有242448(个)，故选C.8若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函
10、数f(x)的图象是(A)解析f(x)2xb为增函数，排除B、D；又f(x)的顶点在第四象限，0，b0，排除C，故选A8曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离为(A)A B2C3 D2解析设曲线上的点A(x0，ln(2x01)到直线2xy30的距离最短，则曲线上过点A的切线与直线2xy30平行因为y(2x1)，所以y|xx02，解得x01.所以点A的坐标为(1,0)所以点A到直线2xy30的距离为d.2已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是(D)A(，)(，) B(，)C(，) D，解析f(x)3x22ax1，f(x)在(，)上是单调函数，且f(x
11、)的图象是开口向下的抛物线，f(x)0恒成立，4a2120，a，故选D6已知函数yf(x)的导函数yf (x)的图象如图所示，则(A)A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个大值点，3个极小值点解析根据极值的定义及判断方法，检查f (x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得最小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点
12、7函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为(C)解析由图象知，f(x)在x0时，单调递增，故f(x)在x0时为，故选C10某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A.36种B.24种C.22种D.20种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA12种推荐方法.故共有24种推
13、荐方法.7已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f (x)1，则f(x)x的解集是(C)A(0,1) B(1,0)(0,1)C(1，) D(，1)(1，)解析不等式f(x)x可化为f(x)x0，设g(x)f(x)x，则g(x)f (x)1，由题意g(x)f (x)10，函数g(x)在R上单调递增，又g(1)f(1)10，原不等式g(x)0g(x)g(1)x1，故选C11把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为(C)A12 B1C21 D2解析设圆柱的高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V()2x(x312x236x)(0x0，解得x1，函
14、数的单调递增区间为(，)和(1，)14已知f(x)x33x2a(a为常数)，在3,3上有最小值3，那么在3,3上f(x)的最大值是57.解析f(x)3x26x3x(x2)，当x3，2)和x(0,3时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(2,0)时，f(x)0，f(x)单调递减，极大值为f(2)a4，极小值为f(0)a，又f(3)a，f(3)54a，由条件知a3，最大值为f(3)54357.7设则= 三大题17(本题满分10分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|1，且z1，求z；(2)已知复数z(15i)m3(2i)为纯虚数，求实数m的值解析(1)设zabi(a、bR)，由题意
15、得解得a，b.复数z在复平面内对应的点在第四象限，b.zi.(2)z(15i)m3(2i)(m2m6)(2m25m3)i，依题意，m2m60，解得m3或2.2m25m30.m3.m2.18(本题满分12分)已知复数z1满足(1i)z115i，z2a2i，其中i为虚数单位，aR，若|z12|z1|，（1）求的模长（2）求a的取值范围解析因为z123i，z2a2i，2a2i，所以|z12|(23i)(a2i)|4a2i|，又因为|z1|，|z12|z1|，所以，所以a28a70，解得1a7.所以a的取值范围是(1,7)17(本题满分10分)设为复数z的共轭复数，满足|z|2.(1)若z为纯虚数，求
16、z；(2)若z2为实数，求|z|.解析(1)设zbi(bR，且b0)，则bi，因为|z|2，则|2bi|2，即|b|，所以b，所以zi.(2)设zabi(a，bR)，则abi，因为|z|2，则|2bi|2，即|b|，z2abi(abi)2aa2b2(b2ab)i.因为z2为实数，所以b2ab0，因为|b|，所以a，所以|z|.19(本题满分10分)已知函数f(x)x32ax2bxc，(1)当c0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线yx2，求a，b的值；(2)若f(x)在点A(1,8)，B(3，24)处有极值，求f(x)的表达式解析(1)当c0时，f(x)x32ax2bx.所以f (x
17、)3x24axb.依题意可得f(1)3，f (1)1，即解得(2)f(x)x32ax2bxc，所以f (x)3x24axb.由题意知1,3是方程3x24axb0的两根，所以解得a，b9，由f(1)12abc8，a，b9，可得c3，所以f(x)x33x29x3.检验知，合题意20(本题满分12分)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立解析(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，即ax3cxdax3c
18、xd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f(x)3ax2c，又当x1时，f(x)取得极值2，即解得f(x)x33x.(2)f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，当1x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；函数f(x)的递增区间是(，1)和(1，)；递减区间为(1,1)因此，f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)2.(3)由(2)知，函数f(x)在区间1,1上单调递减，且f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2.最小值为mf(1)2.对任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|Mm4成立即对
19、任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|0，则当x(，0)时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减若a0，则f(x)在(，)单调递增若a0；当x时，f 0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1,2ab1，即a0，b1.当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设
20、条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.当0a3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为1.22(本题满分12分)(2019北京卷理，19)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x.(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解析(1)由f(x)x3x2x得f (x)x22x1.令f (x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明：令g(x)f(x)x，x2,4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2,0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.
