1、2015-2016学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1已知集合A=y|y=2x，B=y|y=，则AB等于（）Ay|y0By|y0Cy|y1Dy|y12“”是“coscos”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分又不必要3 =（）ABCD4运行如图所示的程序语句后，输出的结果是（）A17B19C21D235从1，2，3，4，5中随机选取一个数为a，从1，2，3中随机选取一个数为b，则ba的概率是（）ABCD6已知等比数列an中，各项都是正数，且a1
2、，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D327给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD8（题类A）双曲线=1（a0，b0），过焦点F1的弦AB长为m（A，B在同一支上），另一个焦点为F2，则ABF2的周长为（）A4a2mB4aC4a+mD4a+2m9（题类B）设f（x）=sinx2，则f（x）等于（）Asin2xBcosx2C2xsinx2D2xcosx210若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D411某几何体的三视图如图所示（均为直角边长为2的等腰直角三角形），则该几何体的表面积为（）A4+4B4+4C
3、6+2D812若，是非零向量，且，|，则函数f（x）=（x+）（x）是（）A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数13若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A，B，3C1，D，314正实数a，b满足ab=ba，且0a1，则a，b的大小关系是（）AabBa=bCabD不能确定二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共20分)15已知cosxsinx=，则=16（题类A）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，），则a=17计算定积分（x2+sinx）dx=18若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是19如图，正三棱锥ABCD的侧棱
4、长为2，底面BCD的边长为2，E，分别为BC，BD的中点，则三棱锥ABEF的外接球的半径R=，内切球半径r=三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.20甲乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工的零件较好？ 甲 99 100 98 100 103 乙 99 100 102 99 10021ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求AD22在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点（1）求证：ACSB；（
5、2）求二面角SCMA的平面角的余弦值23如图，A，B，C的坐标分别为（，0），（，0），（m，n），G，O，H分别为ABC的重心，外心，垂心（1）写出重心G的坐标；（2）求外心O，垂心H的坐标；（3）求证：G，H，O三点共线，且满足|GH|=2|OG|24数列an是公差d不为0的等差数列，a1=2，Sn为其前n项和（1）当a3=6时，若a1，a3，a，a，a成等比数列（其中3n1n2nk），求nk的表达式；（2）是否存在合适的公差d，使得an的任意前3n项中，前n项的和与后n项的和的比值等于定常数？求出d，若不存在，说明理由25（题类A）以椭圆+y2=1（a1）短轴端点A（0，1）为直角顶点，
6、作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形26已知函数f（x）=ln（1+x）x，g（x）=xlnx（）求函数f（x）的最大值；（）设0ab，证明0g（a）+g（b）2g（）（ba）ln22015-2016学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1已知集合A=y|y=2x，B=y|y=，则AB等于（）Ay|y0By|y0Cy|y1Dy|y1【考点】交集及其运算【分析】分别求出A与B中y的范围确定出两集合，求出A与B的交集即
7、可【解答】解：由A中y=2x0，得到A=y|y0，由B中y=0，得到B=y|y0，则AB=y|y0，故选：B2“”是“coscos”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分又不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可【解答】解：若“”则“coscos”的逆否命题是：若“cos=cos”则“=”，=cos=cos，又当cos=cos时，=+2k，kZ，cos=cos推不出=，“cos=cos”是“=”的必要非充分条件，即“”是“coscos”的必要不充分条件故选：B3 =（）ABCD【考点】复数代数形式的混合运算【分析】化简
8、复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果【解答】解： =故选B4运行如图所示的程序语句后，输出的结果是（）A17B19C21D23【考点】伪代码【分析】根据代码的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i8，计算输出S的值【解答】解：模拟执行程序，可得i=1i=3，S=9，i=2不满足条件i8，i=4，S=11，i=3不满足条件i8，i=5，S=13，i=4不满足条件i8，i=6，S=15，i=5不满足条件i8，i=7，S=17，i=6不满足条件i8，i=8，S=19，i=7不满足条件i8，i=9，S=21，i=8满足条件i8，退出循环，输出S的值为21故选：C5从1，
9、2，3，4，5中随机选取一个数为a，从1，2，3中随机选取一个数为b，则ba的概率是（）ABCD【考点】等可能事件的概率【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有53种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有53种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，由古典概型公式得到P=，故选D6已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D32【考点】等差数列的性质
10、；等比数列的性质【分析】先根据等差中项的性质可知得2（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依题意可得2（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1，各项都是正数q0，q=1+=3+2故选C7给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD【考点】函数单调性的判断与证明【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y=|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区
11、间，y=2x+1为增函数【解答】解：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B8（题类A）双曲线=1（a0，b0），过焦点F1的弦AB长为m（A，B在同一支上），另一个焦点为F2，则ABF2的周长为（）A4a2mB4aC4a+mD4a+2m【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据双曲线的定义可知，|A
12、F2|AF1|=2a，|BF2|BF1|=2a，两式相加求得|AF2|+|BF2|=4a+m，进而根据代入|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|求得答案【解答】解：由双曲线的定义可知，|AF2|AF1|=2a，|BF2|BF1|=2a，ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a+|AF1|+|BF1|+|AF1|+|BF1|=4a+2m，故选：D9（题类B）设f（x）=sinx2，则f（x）等于（）Asin2xBcosx2C2xsinx2D2xcosx2【考点】导数的运算【分析】根据复合函数的求导法则进行计算【解答】解：令u（x）=x2，h（u）=sinu，则
13、h（u（x）=f（x）=sinx2，f（x）=h（u）u（x）=cosx22x故选D10若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D4【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3故选C11某几何体的三视图如图所示（均为直角边长为2的等腰直角三角形），则该几何体的表面积为（）A4+4B4+4C6+2D8【考点】由三视图求
14、面积、体积；简单空间图形的三视图【分析】作出几何体的直观图，计算出各面的面积【解答】解：该几何体为三棱锥，作出直观图如图所示，则SC平面ABC，ABAC，AB=AC=SC=2BC=2，SA=2AB平面SACS=+=4+4故选A12若，是非零向量，且，|，则函数f（x）=（x+）（x）是（）A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数【考点】平面向量数量积的运算【分析】f（x）=xx，因为|，所以f（x）=（）x，所以函数f（x）是一次函数且是奇函数【解答】解：，=0f（x）=（x+）（xb）=xx，|，所以f（x）=（）x所以函数f（x）是一次函数且是奇
15、函数故选A13若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A，B，3C1，D，3【考点】函数与方程的综合运用【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x2）2+（y3）2=4（1y3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围【解答】解：曲线方程可化简为（x2）2+（y3）2=4（1y3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D14正实数a，b满足ab=ba，且0a
16、1，则a，b的大小关系是（）AabBa=bCabD不能确定【考点】不等式比较大小【分析】法一、由ab=ba，得，构造函数y=，求导后利用其单调性分析；法二由0a1，ab=ba，得blogaa=alogab，即=logab，然后利用反证法说明a=b【解答】解：法一、由ab=ba，得blna=alnb，从而，考虑函数y=（x0），y=在（0，1）内f（x）0，f（x）在（0，1）内是增函数，由于0a1，b0，ab1，从而ba=ab1由ba1及a0，可推出b1由0a1，0b1，假如ab，则根据f（x）在（0，1）内是增函数，得f（a）f（b），即，从而abba，这与ab=ba矛盾a=b；法二、0a1
17、，ab=ba，blogaa=alogab，即=logab，假如ab，则1，a1，根据对数函数的性质，得logablogaa=1，从而，这与矛盾，a不能小于b假如ab，则1，而logab1，这也与矛盾a不能大于b，因此a=b故选：B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共20分)15已知cosxsinx=，则=【考点】二倍角的余弦【分析】利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简所求表达式，然后求解即可【解答】解：cosxsinx=，则=（cosxsinx）=故答案为：16（题类A）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，），则a=【考点】抛物线的简单性质【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后利用焦点坐
18、标求解即可【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=y，它的焦点坐标为（0，），可得，解得a=故答案为：17计算定积分（x2+sinx）dx=【考点】定积分【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值【解答】解：由题意，定积分=故答案为：18若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是18【考点】基本不等式【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一可以猜想到应用基本不等式转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值【解答】解：由条件利用基本不等式可得，令xy=t2，即 t=0，可得即得到可解得又注意到t0，
19、故解为，所以xy18故答案应为1819如图，正三棱锥ABCD的侧棱长为2，底面BCD的边长为2，E，分别为BC，BD的中点，则三棱锥ABEF的外接球的半径R=1，内切球半径r=2【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【分析】利用勾股定理求出三棱锥ABEF的外接球的半径，利用等体积求出内切球半径【解答】解：设三棱锥ABEF的外接球的球心为O，则O在平面BEF上的射影O为BEF的中心，BO=A到平面BCD的距离为=，三棱锥ABEF的外接球的半径R=1，三棱锥ABEF的体积V=，又S=+2+=2+，=（2+）r，r=2故答案为：1，2三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过
20、程或演算步骤）.20甲乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工的零件较好？ 甲 99 100 98 100 103 乙 99 100 102 99 100【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】分别求出两个车床加工零件的平均数和方差，由此能判断哪个机床加工的零件较好【解答】解： =100，=，它们有整体水平相当，又=2.8，=1.2，乙车床相对稳定，故乙车床加工的零件相对较好21ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求AD【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理【分析】先由cos
21、ADC=确定角ADC的范围，因为BAD=ADCB所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案【解答】解：由cosADC=0，则ADC，又由知BADC可得B，由sinB=，可得cosB=，又由cosADC=，可得sinADC=从而sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=由正弦定理得，所以AD=22在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点（1）求证：ACSB；（2）求二面角SCMA的平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（1）取AC的中点O，连结OS、OB，由已知推导出AC
22、OS，ACOB，由此能证明ACSB（2）平面SAC平面ABC，SOAC，从而SO面ABC，过O作ODCM于D，连结SD，则SDO是二面角NCMB的平面角，由此能求出二面角SCMA的平面角的余弦值【解答】证明：（1）取AC的中点O，连结OS、OB，SA=SC，ACOS，BA=BC，ACOB，又OS，OB平面OSB，OSOB=O，AC平面OSB，ACSB解：（2）平面SAC平面ABC，SOAC，由面面垂直性质定理，得SO面ABC，过O作ODCM于D，连结SD，由三垂线定理，得SDCM，SDO是二面角NCMB的平面角，又SO=2，OD=1，SD=3，cosSDO=，二面角SCMA的平面角的余弦值为2
23、3如图，A，B，C的坐标分别为（，0），（，0），（m，n），G，O，H分别为ABC的重心，外心，垂心（1）写出重心G的坐标；（2）求外心O，垂心H的坐标；（3）求证：G，H，O三点共线，且满足|GH|=2|OG|【考点】向量在几何中的应用【分析】（1）根据重心坐标公式即可求出，（2）设外心O，垂心H的坐标为（0，a），（m，b），根据向量的坐标运算得到=（m，n），D的坐标为（+，），=（+，a），=（m+，b），由题意得到由，化简计算得到即，即可求出外心O，垂心H的坐标；（3）根据向量的坐标运算得到=2，根据向量的共线条件即可证明【解答】解：（1）重心G的坐标为（，），（2）设外心O，垂心
24、H的坐标为（0，a），（m，b），BC的中点为D，A，B，C的坐标分别为（，0），（，0），（m，n），=（m，n），D的坐标为（+，），=（+，a），=（m+，b），由，则，即，外心O的坐标为（0，），垂心H的坐标为（m，），（3）由（1）（2）可知=（，），=（，），得=2，G，H，O三点共线，且满足|GH|=2|OG|24数列an是公差d不为0的等差数列，a1=2，Sn为其前n项和（1）当a3=6时，若a1，a3，a，a，a成等比数列（其中3n1n2nk），求nk的表达式；（2）是否存在合适的公差d，使得an的任意前3n项中，前n项的和与后n项的和的比值等于定常数？求出d，若不存在，说明
25、理由【考点】数列的求和【分析】（1）数列an的公差d=，可得：an=2n另一方面，a1，a3，a，a，a成等比数列（其中3n1n2nk），可得q=利用等比数列的通项公式即可得出（2）等差数列an中，Sn=n2+n，可得S3nS2n，令S3nS2n=Sn，解出即可得出【解答】解：（1）数列an的公差d=2an=2+2（n1）=2n，另一方面，a1，a3，a，a，a成等比数列（其中3n1n2nk），q=3a13k+21=2nk，nk=3k+1（2）等差数列an中，Sn=na1+=n2+n，S3nS2n=n2+，令S3nS2n=Sn，则n2+=n2+n，解得或（舍去）d=4，满足题意，且定 常数为5
26、25（题类A）以椭圆+y2=1（a1）短轴端点A（0，1）为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意设出等腰直角三角形两边所在直线方程：lAB：y=kx+1（k0），lAC：y=x+1，分别联立直线方程和椭圆方程，求出|AB|，|AC|的长度，利用|AB|=|AC|得，k3a2k2+a2k1=0，然后分析方程根的情况得答案【解答】解：设三角形另外两顶点为B，C，不妨设lAB：y=kx+1（k0），lAC：y=x+1由，得（1+a2k2）x2+2ka2x=0，|AB|=同理可得：|AC|=由|AB|=|AC|得，k3a2k2
27、+a2k1=0，即（k1）k2+（1a2）k+1=0，解得k=1或k2+（1a2）k+1=0对于k2+（1a2）k+1=0，由（1a2）24=0，得a=，此时方程的根k=1；当1a时，方程k2+（1a2）k+1=0无实根；当a时，方程k2+（1a2）k+1=0有两个不等实数根当a时，这样的三角形有3个；当1a时这样的三角形有1个26已知函数f（x）=ln（1+x）x，g（x）=xlnx（）求函数f（x）的最大值；（）设0ab，证明0g（a）+g（b）2g（）（ba）ln2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；平均值不等式在函数极值中的应用【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算
28、，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值（2）先将a，b代入函数g（x）得到g（a）+g（b）2g（）的表达式后进行整理，根据（1）可得到lnxx，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立，再用根据y=lnx的单调性进行放缩然后整理即可证明不等式右边成立【解答】（）解：函数f（x）的定义域为（1，+）令f（x）=0，解得x=0当1x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0（）证明：=由（）结论知ln（1+x）x0（x1，且x0），由题设，因此ln=ln（1+），所以又，=（ba）ln（ba）ln2综上2016年7月31日
