1、海珠区201届高三综合测试(一)数学(理科)第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则中元素的个数为( )A B C D2.设复数满足,则( )A B C D3.下列说法中正确的是( )相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,越接近于,相关性越弱;回归直线一定经过样本点的中心;随机误差满足,其方差的大小用来衡量预报的精确度;相关指数用来刻画回归的效果,越小,说明模型的拟合效果越好.A B C D4.已知向量的夹角为,则( )A B C. D5.已知为抛物线上两点,且与的纵坐标之和为,则直线的斜率
2、为( )A B C. D6.已知等差数列的公差为,若成等比数列,则前项的和为( )A B C. D7. 的展开式中的系数为( )A B C. D8.已知圆锥的底面半径为,高为,则该圆锥的外接球的表面积为( )A B C. D9.设函数,则下列结论错误的是( )A的一个周期为 B的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D在区间上单调递减10.执行如图所示的程序框图,如果输出,则输入的( )A B C. D11.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则的离心率为( )A B C. D12.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )A B C. D第卷(共90分)二、填
3、空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知是各项都为正数的等比数列,则前项和为,且,则 14.若满足约束条件,则的最小值为 15.设函数,若,则实数的取值范围是 16.如图,正方体的棱长为,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得截面记为,则下列命题正确的是 当时,为四边形;当时,为五边形;当时,为六边形;当时,为菱形.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知中的内角的对边分别为,若.(1)求的值;(2)求的面积.18. 如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,.(1)证明:;(2)若直线与平面所成角为,
4、求二面角的余弦值.19. 某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于的常数),现随机抽取件合格产品,测得数据如下:尺寸质量对数据作了初步处理,相关统计量的值如下表:(1)根据所给数据,求关于的回归方程;(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的件合格产品中再任选件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望.附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.20. 已知椭圆的焦距为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若不经过点的直线与交于两点,且直线与直线的斜率之和为,证明:直线的斜率为定值.21
5、. 已知函数.(1)若函数有零点,求实数的取值范围;(2)证明:当时,.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直线坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(1)直线的普通方程和曲线的参数方程;(2)设点在上,在处的切线与直线垂直,求的直角坐标.23.选修4-5:不等式选讲已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BADDA 6-10:BDCCB 11、12:CA二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答
6、题17.解:(1)因为,所以,由正弦定理,得,由余弦定理,得,由,可得.(2)由余弦定理,又,得,所以的面积.18.解:(1)取的中点为,连接,为等边三角形,.底面中,可得四边形为矩形,平面,平面.又,所以.(2)由面面知,平面,两两垂直,直线与平面所成角为,即,由,知,得.分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则, 设平面的法向量为.,则,设平面的法向量为,则,,由图可知二面角的余弦值.19.解:(1)对,两边取自然对数得,令,得,得,故所求回归方程为.(2)由,解得,即优等品有件.所以的可能取值是.,.其分布列为:所以,.20.解:(1)因为椭圆的焦距为,且过点,所以.因为,
7、解得,所以椭圆的方程为.(2)设点,则,由消去得,(*)则,因为,即,化简得.即.(*)代入得,整理得,所以或.若,可得方程(*)的一个根为,不合题意,所以直线的斜率为定值,该值为.21.解:(1)函数的定义域为.由,得.当时,恒成立,函数在上单调递增,又,所以函数在定义域上有个零点.当时,则时,时,.所以函数在上单调递减,在上单调递增.当.当,即时,又,所以函数在定义域上有个零点.综上所述实数的取值范围为.另解:函数的定义域为.由,得.令,则.当时,;当时,.所以函数在上单调递增,在上单调递减.故时,函数取得最大值.因,两图像有交点得,综上所述实数的取值范围为.(2)要证明当时,即证明当时,
8、即.令,则.当时,;当时,.所以函数在上单调递减,在上单调递增.当时,.于是,当时,.令,则.当时,;当时,.所以函数在上单调递增,在上单调递减.当时,.于是,当时,.显然,不等式、中的等号不能同时成立.故当时,.22.解:(1)由,的,消去得直线的普通方程为.由,得.将代入上式,曲线的直角坐标方程为,即.得曲线的直角坐标方程为(为参数,)(2)设曲线上的点为,由(1)知是以为圆心,半径为的圆.因为在处的切线与直线垂直,所以直线与的斜率相等,或者,故得直角坐标为或者.23.解:(1)不等式等价于或或,解得或,所以不等式的解集是;(2)存在,使得成立,故需求的最大值.,所以,解得实数的取值范围是.