1、海珠区201届高三综合测试（一）数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A B C D2.设复数满足，则（ ）A B C D3.下列说法中正确的是（ ）相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱；回归直线一定经过样本点的中心；随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好.A B C D4.已知向量的夹角为，则（ ）A B C. D5.已知为抛物线上两点，且与的纵坐标之和为，则直线的斜率
2、为（ ）A B C. D6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，则前项的和为（ ）A B C. D7. 的展开式中的系数为（ ）A B C. D8.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）A B C. D9.设函数，则下列结论错误的是（ ）A的一个周期为 B的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D在区间上单调递减10.执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（ ）A B C. D11.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）A B C. D12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填
3、空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知是各项都为正数的等比数列，则前项和为，且，则 14.若满足约束条件，则的最小值为 15.设函数，若，则实数的取值范围是 16.如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 当时，为四边形；当时，为五边形；当时，为六边形；当时，为菱形.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知中的内角的对边分别为，若.（1）求的值；（2）求的面积.18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，.（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为，
4、求二面角的余弦值.19. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（为大于的常数），现随机抽取件合格产品，测得数据如下：尺寸质量对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的件合格产品中再任选件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.20. 已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.21
5、. 已知函数.（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BADDA 6-10:BDCCB 11、12：CA二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答
6、题17.解：（1）因为，所以，由正弦定理，得，由余弦定理，得，由，可得.（2）由余弦定理，又，得，所以的面积.18.解：（1）取的中点为，连接，为等边三角形，.底面中，可得四边形为矩形，平面，平面.又，所以.（2）由面面知，平面，两两垂直，直线与平面所成角为，即，由，知，得.分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为.，则，设平面的法向量为，则，,由图可知二面角的余弦值.19.解：（1）对，两边取自然对数得，令，得，得，故所求回归方程为.（2）由，解得，即优等品有件.所以的可能取值是.，.其分布列为：所以，.20.解：（1）因为椭圆的焦距为，且过点，所以.因为，
7、解得，所以椭圆的方程为.（2）设点，则，由消去得，（*）则，因为，即，化简得.即.（*）代入得，整理得，所以或.若，可得方程（*）的一个根为，不合题意，所以直线的斜率为定值，该值为.21.解：（1）函数的定义域为.由，得.当时，恒成立，函数在上单调递增，又，所以函数在定义域上有个零点.当时，则时，时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又，所以函数在定义域上有个零点.综上所述实数的取值范围为.另解：函数的定义域为.由，得.令，则.当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.故时，函数取得最大值.因，两图像有交点得，综上所述实数的取值范围为.（2）要证明当时，即证明当时，
8、即.令，则.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.当时，.于是，当时，.令，则.当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，.于是，当时，.显然，不等式、中的等号不能同时成立.故当时，.22.解：（1）由，的，消去得直线的普通方程为.由，得.将代入上式，曲线的直角坐标方程为，即.得曲线的直角坐标方程为（为参数，）（2）设曲线上的点为，由（1）知是以为圆心，半径为的圆.因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，或者，故得直角坐标为或者.23.解：（1）不等式等价于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2）存在，使得成立，故需求的最大值.，所以，解得实数的取值范围是.