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2022届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十二节 第1课时 导数与不等式问题课时规范练 理(含解析) 新人教版.doc

上传人:高**** 文档编号:377273 上传时间:2024-05-27 格式:DOC 页数:8 大小:191.50KB
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资源描述

1、第1课时 导数与不等式问题A组基础对点练1已知函数f(x)x32x23m,x0,).若f(x)50恒成立,则实数m的取值范围是()A BC(,2 D(,2)解析:f(x)x24x,由f(x)0,得x4或x0,f(x)0,得0x4,f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,)上单调递增,当x0,)时,f(x)minf(4),要使f(x)50恒成立,只需f(4)50恒成立即可,代入解得m.答案:A2若存在正数x使2x(xa)1成立,则a的取值范围是()A(,) B(2,)C(0,) D(1,)解析:2x(xa)x.令f(x)x,f(x)12xln 20,f(x)在(0,)上单调递增,f(x)f(0)

2、011,a的取值范围为(1,).答案:D3(2021云南昆明调研)若函数f(x)2xx21,对于任意的xZ且x(,a),都有f(x)0恒成立,则实数a的取值范围为()A(,1 B(,0C(,4 D(,5解析:对任意的xZ且x(,a),都有f(x)0恒成立,可转化为对任意的xZ且x(,a),2xx21恒成立令g(x)2x,h(x)x21,当x0时,g(x)h(x),当x0或1时,g(x)h(x),当x2或3或4时,g(x)h(x),当x5时,g(x)h(x).综上,实数a的取值范围为(,5.答案:D4做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b

3、元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A BC D解析:如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则VR2h.设造价为y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2,所以y4aR.令y0,得.答案:C5(2020吉林模拟)已知定义域为(0,)的函数f(x)的图象经过点(2,4),且f(x)1,则不等式f(2x2)2x的解集为()A(0,) B(0,2)C(1,2) D(0,1)解析:令g(x)f(x)x,x(0,),则g(x)f(x)10,所以g(x)f(x)x在(0,)上单调递增,且g(2)f(2)22.由f(2x2)2x得f(2x2)(2x2)2,即g(2x2)g(2),所以解得1x2.答案:

4、C6对xR,函数f(x)的导数存在,若f(x)f(x),且a0,则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) Bf(a)f(0) Df(a)0,故g(x)为R上的单调递增函数,因此g(a)g(0),即f(0),所以f(a)eaf(0).答案:A7函数f(x)ln x(aR)在区间e2,)上有两个零点,则a的取值范围是()A BC D解析:令f(x)ln x0,xe2,),得ax ln x记H(x)x ln x,xe2,),则H(x)1ln x,由此可知H(x)在e2,e1)上单调递减,在(e1,)上单调递增,且H(e2)2e2,H(e1)e1,当x时,H(x),故当a时,f(x)在e2,)上有

5、两个零点答案:A8电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0),为使耗电量最小,则速度应定为_解析:令yx239x400,得x1(舍去)或x40,由于当0x40时,y0;当x40时,y0,所以当x40时,y有最小值答案:409若等差数列an中的a28,a4 012是函数f(x)x34x26x1的两个极值点,则log8a2 020_解析:由题意可知f(x)x28x6,又a28,a4 012是函数f(x)x34x26x1的极值点,a28,a4 012是方程x28x60的两个实根由根与系数的关系可得a28a4 0128,由等差数列的性质可得2a2 020a28a4 0128,a2

6、0204,log8a2 020log84.答案:10直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点,求a的取值范围解析:令f(x)3x230,得x1,可得极大值为f(1)2,极小值为f(1)2,如图所示,观察得当2a2时恰有三个不同的公共点,故a的取值范围为(2,2).11(2020西安八校联考)若函数f(x)x3x2ax在区间(1,)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,求实数a的取值范围解析:由f(x)在区间(1,)上单调递增,可知f(x)x22xa在(1,)上恒大于等于0,又因为函数f(x)在(1,)上单调递增,所以只需f(1)12a0,即a3.又f(x)在区间(1,2)有零点

7、,所以f(1)f(2)0,即a,综上可知,实数a的取值范围为.12设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax1,求a的取值范围解析:(1)f(x)(12xx2)ex,令f(x)0得x1,当x(,1)时,f(x)0;当x(1,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0;所以f(x)在(,1),(1,)上单调递减;在(1,1)上单调递增(2)令g(x)f(x)ax1(1x2)ex(ax1),令x0,可得g(0)0,g(x)(1x22x)exa,令h(x)(1x22x)exa,h(x)(x24x1)ex,当x0时,h(x)0,h(x)单调递减,故h(x

8、)h(0)1a,即g(x)1a,要使f(x)ax10在x0时恒成立,需要1a0,即a1,此时g(x)g(0)0,故a1.综上所述,a的取值范围是1,).B组素养提升练1已知函数f(x)(x0).(1)判断函数f(x)在区间上的单调性;(2)若f(x)a在区间上恒成立,求实数a的最小值解析:(1)f(x),令g(x)x cos xsin x,x,则g(x)x sin x,显然,当x时,g(x)x sin x0,即函数g(x)在区间上单调递减,且g(0)0,从而g(x)在区间上恒小于零,所以f(x)在区间上恒小于零,所以函数f(x)在区间上单调递减(2)不等式f(x)a,x恒成立,即sin xax

9、0恒成立令(x)sin xax,x,则(x)cos xa,且(0)0.当a1时,在区间上(x)0,即函数(x)单调递减,所以(x)(0)0,即sin xax0恒成立,当0a1时,(x)cos xa0在区间上存在唯一解x0,当x(0,x0)时,(x)0,故(x)在区间(0,x0)上单调递增,且(0)0,从而(x)在区间(0,x0)上大于零,这与sin xax0恒成立相矛盾,当a0时,在区间上(x)0,即函数(x)单调递增,且(0)0,得sin xax0恒成立,这与sin xax0恒成立相矛盾,故实数a的最小值为1.2已知函数f(x)axex(a1)(2x1).(1)若a1,求函数f(x)的图象在

10、点(0,f(0)处的切线方程;(2)若当x0时,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围解析:(1)若a1,则f(x)xex2(2x1),f(x)xexex4,当x0时,f(0)2,f(0)3,所以所求切线方程为y3x2.(2)法一:f(x)axex(a1)(2x1),f(x)a(x1)ex2(a1),由条件可得f(1)0,解得a0,令h(x)f(x)a(x1)ex2(a1),则h(x)a(x2)ex,当x0时,h(x)0,所以h(x)f(x)单调递增,而f(0)2a0,f(1)2ea2a20,所以方程f(x)0存在唯一根x0,x0(0,1,使得函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上

11、单调递增,所以函数f(x)在(0,)上的最小值为f(x0)(a1)(2x01),当x0时,要使f(x)0恒成立,只需f(x0)0即可,又x0满足,得f(x0),因为x0(0,1,所以2xx010,所以f(x0)0,所以f(x)0在(0,)上恒成立,所以实数a的取值范围为.法二:由条件可得f(1)0,解得a0,当x0时,f(x)0恒成立,等价于xex(2x1)对任意的x0恒成立,等价于当x0时,函数y1xex的图象总不在直线y2(2x1)的下方令Q(x)xex(x0),则Q(x)(x1)ex0,所以Q(x)xex(x0)单调递增;令P(x)Q(x)(x1)ex(x0),则P(x)(x2)ex0,

12、所以P(x)(x1)ex(x0)单调递增,所以Q(x)xex(x0)为凹函数,又y2(2x1)是过定点的直线,当直线与曲线相切时,可设切点为T(x0,y0)(x00),则解得x01,此时切线的斜率为Q(1)2e,则当x0时,要使f(x)0恒成立,只需2e即可,解得a,故a的取值范围是.3(2020贵州省适应性考试)函数f(x)xln x,g(x)aex.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a时,xf(x)g(x).解析:(1)函数f(x)的定义域为(0,).由f(x)xln x,得f(x)1,当x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,)

13、.(2)证明:要证xf(x)g(x),即证x(xln x)aex,即证a.设h(x),则h(x),由(1)可知f(x)f(1)1,即ln x(x1)0,于是,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(1,)时,h(x)0,h(x)单调递减所以x1时,h(x)取得最大值,h(x)max,所以当a时,xf(x)g(x).4(2021湖北黄冈模拟)已知函数f(x)ln xex(R).(1)若函数f(x)是单调函数,求的取值范围;(2)求证:当0x11.解析:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xex,f(x)ex.函数f(x)是单调函数,f(x)0或f(x)0在(0,)上

14、恒成立,当函数f(x)是单调递减函数时,f(x)0,0,即xex0,xex.令(x),则(x),当0x1时,(x)1时,(x)0,则(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,当x0时,(x)min(1),.当函数f(x)是单调递增函数时,f(x)0,0,即xex0,xex,由得(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,又(0)0,x时,(x)0,0.综上,的取值范围为0,).(2)证明:由(1)可知,当时,f(x)ln xex在(0,)上单调递减,0x1f(x2),即ln x1ex1ln x2ex2,e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11,只需证ln x1ln x21,即证ln 1.令t,t(0,1),则只需证ln t1,令h(t)ln t1,则h(t),当0t1时,h(t)0,即ln t1,原不等式得证

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