1、第1课时 导数与不等式问题A组基础对点练1已知函数f(x)x32x23m，x0，).若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是()A BC(，2 D(，2)解析：f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0，f(x)0，得0x4，f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，)上单调递增，当x0，)时，f(x)minf(4)，要使f(x)50恒成立，只需f(4)50恒成立即可，代入解得m.答案：A2若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)x.令f(x)x，f(x)12xln 20，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)
2、011，a的取值范围为(1，).答案：D3(2021云南昆明调研)若函数f(x)2xx21，对于任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B(，0C(，4 D(，5解析：对任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，可转化为对任意的xZ且x(，a)，2xx21恒成立令g(x)2x，h(x)x21，当x0时，g(x)h(x)，当x0或1时，g(x)h(x)，当x2或3或4时，g(x)h(x)，当x5时，g(x)h(x).综上，实数a的取值范围为(，5.答案：D4做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b
3、元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A BC D解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则VR2h.设造价为y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2，所以y4aR.令y0，得.答案：C5(2020吉林模拟)已知定义域为(0，)的函数f(x)的图象经过点(2，4)，且f(x)1，则不等式f(2x2)2x的解集为()A(0，) B(0，2)C(1，2) D(0，1)解析：令g(x)f(x)x，x(0，)，则g(x)f(x)10，所以g(x)f(x)x在(0，)上单调递增，且g(2)f(2)22.由f(2x2)2x得f(2x2)(2x2)2，即g(2x2)g(2)，所以解得1x2.答案：
4、C6对xR，函数f(x)的导数存在，若f(x)f(x)，且a0，则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) Bf(a)f(0) Df(a)0，故g(x)为R上的单调递增函数，因此g(a)g(0)，即f(0)，所以f(a)eaf(0).答案：A7函数f(x)ln x(aR)在区间e2，)上有两个零点，则a的取值范围是()A BC D解析：令f(x)ln x0，xe2，)，得ax ln x记H(x)x ln x，xe2，)，则H(x)1ln x，由此可知H(x)在e2，e1)上单调递减，在(e1，)上单调递增，且H(e2)2e2，H(e1)e1，当x时，H(x)，故当a时，f(x)在e2，)上有
5、两个零点答案：A8电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析：令yx239x400，得x1(舍去)或x40，由于当0x40时，y0；当x40时，y0，所以当x40时，y有最小值答案：409若等差数列an中的a28，a4 012是函数f(x)x34x26x1的两个极值点，则log8a2 020_解析：由题意可知f(x)x28x6，又a28，a4 012是函数f(x)x34x26x1的极值点，a28，a4 012是方程x28x60的两个实根由根与系数的关系可得a28a4 0128，由等差数列的性质可得2a2 020a28a4 0128，a2
6、0204，log8a2 020log84.答案：10直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，求a的取值范围解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图所示，观察得当2a2时恰有三个不同的公共点，故a的取值范围为(2，2).11(2020西安八校联考)若函数f(x)x3x2ax在区间(1，)上单调递增，且在区间(1，2)上有零点，求实数a的取值范围解析：由f(x)在区间(1，)上单调递增，可知f(x)x22xa在(1，)上恒大于等于0，又因为函数f(x)在(1，)上单调递增，所以只需f(1)12a0，即a3.又f(x)在区间(1，2)有零点
7、，所以f(1)f(2)0，即a，综上可知，实数a的取值范围为.12设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解析：(1)f(x)(12xx2)ex，令f(x)0得x1，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0；所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减；在(1，1)上单调递增(2)令g(x)f(x)ax1(1x2)ex(ax1)，令x0，可得g(0)0，g(x)(1x22x)exa，令h(x)(1x22x)exa，h(x)(x24x1)ex，当x0时，h(x)0，h(x)单调递减，故h(x
8、)h(0)1a，即g(x)1a，要使f(x)ax10在x0时恒成立，需要1a0，即a1，此时g(x)g(0)0，故a1.综上所述，a的取值范围是1，).B组素养提升练1已知函数f(x)(x0).(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；(2)若f(x)a在区间上恒成立，求实数a的最小值解析：(1)f(x)，令g(x)x cos xsin x，x，则g(x)x sin x，显然，当x时，g(x)x sin x0，即函数g(x)在区间上单调递减，且g(0)0，从而g(x)在区间上恒小于零，所以f(x)在区间上恒小于零，所以函数f(x)在区间上单调递减(2)不等式f(x)a，x恒成立，即sin xax
9、0恒成立令(x)sin xax，x，则(x)cos xa，且(0)0.当a1时，在区间上(x)0，即函数(x)单调递减，所以(x)(0)0，即sin xax0恒成立，当0a1时，(x)cos xa0在区间上存在唯一解x0，当x(0，x0)时，(x)0，故(x)在区间(0，x0)上单调递增，且(0)0，从而(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin xax0恒成立相矛盾，当a0时，在区间上(x)0，即函数(x)单调递增，且(0)0，得sin xax0恒成立，这与sin xax0恒成立相矛盾，故实数a的最小值为1.2已知函数f(x)axex(a1)(2x1).(1)若a1，求函数f(x)的图象在
10、点(0，f(0)处的切线方程；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)若a1，则f(x)xex2(2x1)，f(x)xexex4，当x0时，f(0)2，f(0)3，所以所求切线方程为y3x2.(2)法一：f(x)axex(a1)(2x1)，f(x)a(x1)ex2(a1)，由条件可得f(1)0，解得a0，令h(x)f(x)a(x1)ex2(a1)，则h(x)a(x2)ex，当x0时，h(x)0，所以h(x)f(x)单调递增，而f(0)2a0，f(1)2ea2a20，所以方程f(x)0存在唯一根x0，x0(0，1，使得函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上
11、单调递增，所以函数f(x)在(0，)上的最小值为f(x0)(a1)(2x01)，当x0时，要使f(x)0恒成立，只需f(x0)0即可，又x0满足，得f(x0)，因为x0(0，1，所以2xx010，所以f(x0)0，所以f(x)0在(0，)上恒成立，所以实数a的取值范围为.法二：由条件可得f(1)0，解得a0，当x0时，f(x)0恒成立，等价于xex(2x1)对任意的x0恒成立，等价于当x0时，函数y1xex的图象总不在直线y2(2x1)的下方令Q(x)xex(x0)，则Q(x)(x1)ex0，所以Q(x)xex(x0)单调递增；令P(x)Q(x)(x1)ex(x0)，则P(x)(x2)ex0，
12、所以P(x)(x1)ex(x0)单调递增，所以Q(x)xex(x0)为凹函数，又y2(2x1)是过定点的直线，当直线与曲线相切时，可设切点为T(x0，y0)(x00)，则解得x01，此时切线的斜率为Q(1)2e，则当x0时，要使f(x)0恒成立，只需2e即可，解得a，故a的取值范围是.3(2020贵州省适应性考试)函数f(x)xln x，g(x)aex.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a时，xf(x)g(x).解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，).由f(x)xln x，得f(x)1，当x(0，1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，)
13、.(2)证明：要证xf(x)g(x)，即证x(xln x)aex，即证a.设h(x)，则h(x)，由(1)可知f(x)f(1)1，即ln x(x1)0，于是，当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递减所以x1时，h(x)取得最大值，h(x)max，所以当a时，xf(x)g(x).4(2021湖北黄冈模拟)已知函数f(x)ln xex(R).(1)若函数f(x)是单调函数，求的取值范围；(2)求证：当0x11.解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xex，f(x)ex.函数f(x)是单调函数，f(x)0或f(x)0在(0，)上
14、恒成立，当函数f(x)是单调递减函数时，f(x)0，0，即xex0，xex.令(x)，则(x)，当0x1时，(x)1时，(x)0，则(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x0时，(x)min(1)，.当函数f(x)是单调递增函数时，f(x)0，0，即xex0，xex，由得(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又(0)0，x时，(x)0，0.综上，的取值范围为0，).(2)证明：由(1)可知，当时，f(x)ln xex在(0，)上单调递减，0x1f(x2)，即ln x1ex1ln x2ex2，e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11，只需证ln x1ln x21，即证ln 1.令t，t(0，1)，则只需证ln t1，令h(t)ln t1，则h(t)，当0t1时，h(t)0，即ln t1，原不等式得证