1、第5章核心考点精准研析考点一复数的概念1.(2019合肥模拟)已知a,b均为实数,若+=1(i为虚数单位),则a+b=()A.0B.1C.2D.-12.(2020吉林模拟)设i是虚数单位,为实数,则实数a的值为()A.1B.2C.D.3.已知复数z满足:(2-i)z=1,则=()A.B.C.D.4.已知复数z的共轭复数是,且|z|-=,则z的虚部是_.世纪金榜导学号【解析】1.选C.由+=1,得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,即(a+b)+(a-b)i=2,则.所以a+b=2.2.选C.因为=+i为实数,所以2a-1=0,即a=.3.选B.由(2-i)z=1,得z=+i,
2、所以=.4.设z=a+bi(a,bR),由|z|-=,得-a+bi=,所以2+i=-b+(-a)i,所以b=-2.答案:-2关于复数的概念(1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念.(2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.考点二复数的几何意义【典例】1.在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为()A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+i2.(2020郑州模拟)已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为_.3.(2019太原模拟)若zC且|z+3+4i|2,|z-1-i|
3、的最大值和最小值分别为M,m,则M-m=_.【解题导思】序号联想解题1由点关于虚轴对称,想到若点坐标为(x,y),则关于虚轴对称的点的坐标为(-x,y)2由与虚轴垂直想到点A,B对应的复数虚部相等3由|z+3+4i|想到|z-(-3-4i)|,想到z对应的点的轨迹【解析】1.选C.依题意得,复数z=i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.2.z1=-i,所以A,因为向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,所以z2的虚部为-.答案:-3.由|z+3+4i|2,得z在复平面内对应的点在以Q(-3,-4)为圆心,以2为半径的圆及其内部
4、.如图:|z-1-i|的几何意义为区域内的动点与定点P(1,1)的距离,则M=|PQ|+2,m=|PQ|-2,则M-m=4.答案:4关于复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,bR)Z,充分利用三者之间的对应关系相互进行转化.(2)=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.1.已知aR,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第_象限,复数z对应点的轨迹是_.【解析】令z=x+yi(x,yR),x=a2-2a+4=(a-1)2+33,y=-(a2-2a+2)=-
5、(a-1)2+1-1,且x+y=2(x3,y-1),故复数z所对应的点在第四象限,z对应点的轨迹为一条射线.答案:四一条射线2.在复平面内,复数对应的点与原点的距离是()A.1B.C.2D.2【解析】选B.=1+i.对应的点与原点的距离是=.考点三复数的四则运算命题精解读考什么:(1)考查复数的运算、概念、几何意义等问题.(2)考查数学运算、直观想象的核心素养.怎么考:考查复数的乘除运算、复数运算的几何意义、轨迹问题.新趋势:以复数的运算为载体,考查复数的几何意义、概念、动点的轨迹问题.学霸好方法1.关于复数的四则运算及应用熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则是关键,再结合复数的相关概念、几
6、何意义解决相关的问题.2.交汇问题与三角函数交汇时需要结合三角函数的相关公式计算,与轨迹交汇时可以转化为解析几何问题解决 复数四则运算的综合应用【典例】若z=1+2i,则=()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选C.因为z=1+2i,则=1-2i,所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则=i.复数混合运算应注意什么?提示:分清运算层次,逐层进行运算.复数四则运算的几何意义【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则复数z1z2对应的点位于()世纪金榜导学号A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z
7、2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.向量、复数的运算、点的坐标怎样关联?提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量.复数四则运算的交汇问题【典例】(2019邢台模拟)若复数x=sin -+i(R)是纯虚数,则cos +icos 2的共轭复数在复平面内对应的点位于世纪金榜导学号()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为复数x=sin -+i(R)是纯虚数,所以,即sin =,cos =-(为第二象限角).则cos 2=1-2sin2=1-2=.所以cos +icos 2的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内
8、对应的点位于第三象限.本题复数中含有三角函数问题求解时用到了哪些三角函数知识?提示:用到同角三角函数的基本关系,二倍角公式.1.若复数z满足iz=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为_.【解析】由iz=1+2i,得z=2-i,所以z的实部为2.答案:22.(2019闵行模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=_.【解析】由题意,z1=i,z2=2-i,所以=5.答案:53.(2020人大附中模拟)复数z满足=2-i(i为虚数单位),则z的模是_.【解析】因为=2-i,所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i,所以|z|=5.答案:51.(2020商丘模拟)若=ad-bc,则满足等式=0的复数z=_.【解析】由已知可得=z(1+i)+i(1-i)=0,所以z=-1.答案:-12.(2019杭州模拟)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,若表示复数z,则|z|=_.【解析】由题意=cos +isin =cos +isin =-+i,所以|z|=1.答案:1
