1、第三章 导数及其应用第二讲导数的简单应用练好题考点自测1.2021陕西模拟若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)2.下列说法错误的是()A.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的B.若x0是可导函数y=f(x)的极值点,则一定有f (x0)=0C.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值D.函数f(x)=xsin x有无数个极值点3.2017全国卷,5分若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1图3-
2、2-14.多选题函数y=f(x)的导函数的图象如图3-2-1所示,则下列说法正确的是()A.(0,3)为函数y=f(x)的单调递减区间B.(5,+)为函数y=f(x)的单调递增区间C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值5.2021河南省名校第一次联考已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则c=.6.2021武汉市部分学校质检设函数f(x)=ln在区间-,上的最小值和最大值分别为m和M,则m+M=.拓展变式1.2020全国卷,12分已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)x3+1,
3、求a的取值范围.2.已知函数g(x)=x3-x2+2x+5.(1)若函数g(x)在(-2,-1)内单调递减,则a的取值范围为;(2)若函数g(x)在(-2,-1)内存在单调递减区间,则a的取值范围为;(3)若函数g(x)在(-2,-1)上不单调,则a的取值范围为.3.2017北京,13分已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值.4.2020广西桂林三校联考已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)0恒成立,求实数a的最小值;
4、(2)当a0时, f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求实数a的取值范围.5.2021湖南名校大联考若f(x)为定义在R上的偶函数,当x(-,0时,f(x)+2x0,则不等式f(x+1)-f(x+2)2x+3的解集为()A.(,+) B.(-,-3)C.(-,-)D.(-,+)答 案第二讲导数的简单应用1.D因为f(x)=kx-ln x,所以f (x)=k-.因为f(x)在区间(1,+)上单调递增,所以当x1时,f (x)=k-0恒成立,即k在区间(1,+)上恒成立.因为x1,所以00,解得x1,令f (x)0,解得-2x1,所以f(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在
5、(1,+)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,故选A.4.BD由函数y=f(x)的导函数的图象可知,当x-1或3x5时,f (x)0,y=f(x)单调递减,当-1x5时,f (x)0,y=f(x)单调递增,由此可知A错误,B正确;函数y=f(x)在x=-1,x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值,因此可知C错误,D正确.故选BD.5.6解法一由题知,f (x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),当c0时,不合题意,故c0.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x(-,)(,c)c(c,+)f (x)+0-0+f(x
6、)极大值f()极小值f(c)故=2,c=6.解法二由题知,f (x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),则f (2)=(2-c)(6-c)=0,解得c=2或c=6,经检验,c=2不合题意,故c=6.6.-2ln 2令g(x)=,x-,则g(x)=,因为x-,所以sin x-,所以g(x)0,则g(x)在-,上单调递增,所以f(x)在-,上单调递增,因为g(-)=,g()=,所以f(x)的最小值与最大值的和m+M=ln+ln=ln=-2ln 2.1.(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f (x)=ex+2x-1.故当x(-,0)时,f (x)0.所以f(x)在(-,0
7、)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)f(x)x3+1等价于(x3-ax2+x+1)e-x1.设函数g(x)=(x3-ax2+x+1)e-x(x0),则g(x)=-(x3-ax2+x+1-x2+2ax-1)e-x=-xx2-(2a+3)x+4a+2e-x=-x(x-2a-1)(x-2)e-x.(i)若2a+10,即a-,则当x(0,2)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2)上单调递增,而g(0)=1,故当x(0,2)时,g(x)1,不合题意.(ii)若02a+12,即-a,则当x(0,2a+1)(2,+)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+)上单调递减,在(2a+1
8、,2)上单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)1当且仅当g(2)=(7-4a)e-21,即a.所以当a时,g(x)1.(iii)若2a+12,即a,则g(x)(x3+x+1)e-x.由于0,),故由(ii)可得当a=0时,g(x)=(x3+x+1)e-x1.故当a时,g(x)1.综上,a的取值范围是,+).2.因为g(x)=x3-x2+2x+5,所以g(x)=x2-ax+2.(1)(-,-3解法一因为g(x)在(-2,-1)内单调递减,所以g(x)=x2-ax+20在(-2,-1)内恒成立.所以即解得a-3.即实数a的取值范围为(-,-3.解法二由题意知x2-ax+20在(-2,-1)内恒成
9、立,所以ax+在(-2,-1)内恒成立,记h(x)=x+,则x(-2,-1)时,-3h(x)-2,所以a-3.即实数a的取值范围为(-,-3.(2)(-,-2)因为函数g(x)在(-2,-1)内存在单调递减区间,所以g(x)=x2-ax+20在(-2,-1)内有解,所以a0,所以a+2在(0,+)上恒成立.设h(x)=(x0),则h(x)=,令h(x)=0,得x=1.当0x0,函数h(x)单调递增;当x1时,h(x)0,a0),令f (x)=0,得x1=,x2=.当01,即a1时,因为x1,e,所以f (x)0, f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=-2,符合题意;当1e,即a1时,因为x1,e,所以当x1,)时,f (x)0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f()f(1)=-2,不符合题意,舍去;当e,即0a时,因为x1,e,所以f (x)0, f(x)单调递减,所以f(x)min=f(e)0,所以g(x)在(-,0上单调递增,所以当x(0,+)时,g(x)单调递减.g(x+1)=f(x+1)+(x+1)2,g(x+2)=f(x+2)+(x+2)2,所以不等式f(x+1)-f(x+2)2x+3,可化为f(x+1)+(x+1)2f(x+2)+(x+2)2,(题眼)即g(x+1)g(x+2),所以|x+1|-,故选D.
