1、2014-2015学年天津市新四区示范校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1（5分）（2015春天津期末）如果ab0，则下列不等式中成立的只有（） A B ab1 C D 考点： 不等关系与不等式所有专题： 计算题分析： 令a=2，b=1，代入各个选项进行检验，从而得到正确的选项解答： 解：令a=2，b=1，可得 ，ab=2，故A，B不正确，C正确再根据，可得 D不正确，只有选项C 成立，故选C点评： 本题考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有
2、效的方法2（5分）（2015春天津期末）已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=2xy的最小值是（） A 7 B 5 C 4 D 7考点： 简单线性规划所有专题： 不等式的解法及应用分析： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可解答： 解：变量x，y满足约束件，目标函数z=2xy，画出图形：点A（5，3），B（1，3），z在点B处有最小值：z=2（1）3=5，故选：B点评： 本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法3（5分）（2015春天津期
3、末）图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分统计的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（） A 62 B 63 C 64 D 65考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数所有专题： 概率与统计分析： 由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，由此能求出甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和解答： 解：由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是：28+36=64故选：C点评： 本题考查两组数据的中位数之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用4（5分）（20
4、15春天津期末）如图所示程序框图中，输出S=（） A 45 B 66 C 66 D 55考点： 程序框图所有专题： 图表型；算法和程序框图分析： 根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=1222+3242+（1）n+1n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案解答： 解：由程序框图知，第一次运行T=（1）212=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（1）322=4，S=14=3，n=2+1=3；第三次运行T=（1）432=9，S=14+9=6，n=3+1=4；直到n=9+1=10时，满足条件n9，运行终止，此时T=（1）1092，S=14+916+92102=1+（2+3）
5、+（4+5）+（6+7）+（8+9）100=9100=55故选：D点评： 本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题5（5分）（2015春天津期末）已知关于x的方程x2（bcosA）x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且边a，b为abc的两内角a，b所对的边，则abc是（） A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形考点： 余弦定理所有专题： 解三角形分析： 由题意可得bcosA=acosB，由正弦定理可得sinBcosA=sinAcosB，由已知条件可判A=B，可得结论解答： 解：方程x2（bcosA）x+acosB=0的两根之积等
6、于两根之和，bcosA=acosB，由正弦定理可得sinBcosA=sinAcosB，sinBcosAsinAcosB=0，即sin（AB）=0，A、B为三角形的两内角，A=B，三角形为等腰三角形故选：A点评： 本题考查三角形形状的判定，涉及正弦定理和和差角的三角函数公式，属基础题6（5分）（2015春天津期末）已知数列an为等差数列，其公差为2，且a5是a2与a7的等比中项，Sn为an（nN*）的前n项和，则S8的值为（） A 104 B 108 C 108 D 104考点： 等差数列的前n项和所有专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意和等差数列的通项公式可得a1的方程，解方程代入求和公式
7、计算可得解答： 解：由题意可得a52=a2a7，公差d=2，（a1+4d）2=（a1+d）（a1+6d）代入数据可得（a18）2=（a12）（a112），解得a1=20，S8=8a1+d=104故选：D点评： 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题7（5分）（2015春天津期末）下列命题正确的是（） 函数y=sin（2x）+1的一个对称中心是（，0）；从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；将f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，即得到函数y=sin2x的图象；若函数y=（k2+4k5）x2+4（1k）
8、x+3的图象都在x轴上方，则实数k的取值范围是1，19） A B C D 考点： 命题的真假判断与应用所有专题： 简易逻辑分析： 利用函数的对称中心判断的正误；互斥事件与对立事件判断的正误；三角函数的图象的平移变换判断的正误；利用判别式求解K的范围判断的正误；解答： 解：对于，函数y=sin（2x）+1的一个对称中心是（，0）；不正确；一个对称中心应该为：（，1）；对于，从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；“至少有1个红球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，即事件A与事件B为互斥事件，至少有1个红球包含一个红球一个白球和
9、两个红球，与恰有2个白球是对立事件；故不正确对于，将f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，即得到函数y=sin（2x+）=sin2x的图象；所以正确；若函数y=（k2+4k5）x2+4（1k）x+3的图象都在x轴上方，可得16（1k）24（k2+4k5）30并且k2+4k50，解得k1，19），实数k的取值范围是1，19），所以正确；故选：D点评： 本题考查命题的真假的判断，考查互斥事件与对立事件，三角函数的图象的平移，函数的对称性以及二次函数的性质的应用，是中档题8（5分）（2015春天津期末）对于实数x和y，定义运算：xy=x（1y），若对任意x1，不等式（xm）x1都成立，
10、则实数m的取值范围是（） A 1，3 B （，3 C （，13，+） D 3，+）考点： 其他不等式的解法；函数恒成立问题所有专题： 不等式的解法及应用分析： 由题意可得当x1时，f（x）=（xm）（x1）+1的最小值大于或等于0，再利用二次函数的性质、分类讨论求得实数m的取值范围解答： 解：由题意可得当x1时，不等式（xm）x=（xm）（1x）1 恒成立，即（xm）（x1）+10 恒成立，故函数f（x）=（xm）（x1）+1=x2（m+1）x+m+1 的最小值大于或等于0由于函数y的对称轴为x=，当1时，即m1时，f（x）的最小值为0，求得1m3当1时，即m1时，f（x）的最小值为f（1）=
11、10综上可得，实数m的取值范围是（，3，故选：B点评： 本题主要考查新定义，分式不等式、一元二次不等式的解法，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共6小题每小题4分，共24分9（4分）（2013福建）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为考点： 几何概型所有专题： 概率与统计分析： 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a10”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解解答： 解：3a10即a，则事件“3a10”发生的概率为P=故答案为：点评： 几何概型
12、的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关10（4分）（2015春天津期末）如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n的值是48考点： 频率分布直方图所有专题： 应用题；概率与统计分析： 根据频率和为1，求出前3个小组的频率和以及第3小组的频率，再求样本容量n的值解答： 解：根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1（0.0375+0.0125）5=0.75；又这三组频率之比为1：2：3，第3小组的频率为0.75=0.37
13、5，且对应的频数为18，样本容量n=48故答案为：48点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目11（4分）（2015春天津期末）已知x，y的取值如表所示：若y与x呈线性相关，且回归方程为=x+，则等于0.5x234y546考点： 线性回归方程所有专题： 计算题；概率与统计分析： 根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到的值解答： 解：=3，=5，=x+，5=3+3.5=0.5故答案为：0.5点评： 本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性
14、回归直线的关系，本题是一个基础题12（4分）（2015春天津期末）正项等比数列an中，若log2=4，则a40a60=16考点： 等比数列的性质；等比数列的通项公式所有专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等比数列的通项公式以及等比数列的性质进行求解即可解答： 解：在正项等比数列an中，若log2=4，则a2a98=24=16，即a40a60=a2a98=16，故答案为：16点评： 本题主要考查等比数列的性质，利用对数的运算求出a2a98的值是解决本题的关键13（4分）（2013福建）如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为考点： 余弦定
15、理所有专题： 解三角形分析： 由BAC=BAD+DAC，DAC=90，得到BAC=BAD+90，代入并利用诱导公式化简sinBAC，求出cosBAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cosBAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长解答： 解：ADAC，DAC=90，BAC=BAD+DAC=BAD+90，sinBAC=sin（BAD+90）=cosBAD=，在ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=18+924=3，则BD=故答案为：点评： 此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14（4分）（2015春天
16、津期末）在ABC中，E为边AC上一点，且=3，P为BE上一点，且满足=m+n（m0，n0），则的最小值为5+2考点： 平面向量的基本定理及其意义所有专题： 平面向量及应用分析： 根据平面向量基本定理求出m，n关系，利用基本不等式的性质进行求解即可解答： 解：=3，=m+n=m+4n，又P为BE上一点，不妨设（01），=+=+（）=（1）+，m+3n=（1）+，不共线，则m+3n=1+=1，=+1=+1=（）（m+3n）+1=5+5+2=5+2，（m0，n0）当且仅当=即m=n时等号成立，即的最小值为5+2，故答案为：5+2点评： 本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m
17、，n的关系和求m+3n=1三、解答题：本大题共5小题，满分46分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（8分）（2015春天津期末）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片（）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率所有专题： 概率与统计分析： （）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于9的找出来，由此求所抽取的三张卡片的
18、数字之和大于9的概率（）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来，根据互斥事件的概率公式计算即可解答： 解：（）令事件A“三张卡片之和大于9”且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）三张卡片之和大于9的概率P（A）=； （）令事件B为“两次抽取至少一次抽到数字3”，则其对立事件“两次都没抽到数字3”，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（
19、1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4），P（B）=1P（）=1=，两次抽取至少一次抽到数字3的概率是点评： 本题主要考查古典概型、等可能事件的概率，用列举法计算，可以列举出所有基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题，是这一部分的最主要思想，属于中档题16（10分）（2015春天津期末）已知函数f（x）=sinx2sin2（0）的最小正周期为3，（）求函数f（x）的表达式并求f（x）在区间，上的最小值；（）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且abc，a=2csinA，求角
20、C的大小考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理所有专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（）1，利用周期公式可求，由，可求范围0，由正弦函数的图象和性质即可求最小值（II）由已知及正弦定理可解得sinC的值，结合abc，即可求得C的值解答： （本小题满分10分）解：（I）f（x）=sinx2=2sin（）1，（2分）函数f（x）的最小正周期为3，即=3，解得f（x）=2sin（+）1，（3分）因为，0；（4分）sin（+）1，（5分）2f（x）1，f（x）min=2 （6分）（II）因为，由正弦定理
21、得，（8分）又sinA0，sinC=，（9分）又因为 abc，所以C=（10分）点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于基本知识的考查17（12分）（2015春天津期末）已知关于x的不等式ax23x+20（aR）（）若不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb，求a，b的值（）求不等式ax23x+25ax（aR）的解集考点： 一元二次不等式的解法所有专题： 不等式的解法及应用分析： （）ax23x+2=0的两根为x=1或x=b，且a0，根据根与系数的关系即可求出a，b的值；（）原不等式化为（ax3）（x+1）0，然后分类讨论求出不等式的解集解
22、答： 解：（）不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb，ax23x+2=0的两根为x=1或x=b，且a0，1+b=，b=，解得a=1，b=2；（）ax23x+25ax，ax2+（a3）x30，即（ax3）（x+1）0，当a=0时，原不等式解集为（，1）当a0时，方程（ax3）（x+1）=0的根为x=，或x=1，当a0时，1，原不等式解集为（，1）（，+），当3a0时，1，原不等式解集为（，1），当a=3时，=1，原不等式解集为当a3时，原不等式解集为（1，）点评： 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及方程的根与不等式的解集之间的关系，属于中档题18（2分）（2015春天津期末）已知数列
23、an的前n项和为Sn，且满足Sn=+数列bn满足bn+22bn+1+bn=0（nN*），且b1=5，bn前8项和为124（I）求数列an、bn的通项公式；（II）设cn=，求数列cn的前n项和Tn，并证明Tn考点： 数列的求和；数列递推式所有专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析： （）由an=SnSn1，n2且当n=1时，a1=S1，可得an的通项公式，由等差数列的求和公式，可得公差，进而得到bn的通项公式；（）运用裂项相消求和，即有cn=（），求得前n项和Tn，由单调性即可得证解答： 解：（）Sn=+Sn1=（n1）2+（n1）（n2）得an=SnSn1=（2n1）+=n+4，
24、且当n=1时，a1=S1=5，an=n+4（nN*），由已知bn+22bn+1+bn=0，即有bn+2bn+1=bn+1bn，数列bn为等差数列，令其公差为d，又b1=5，由bn前8项和为124，则40+28d=124d=3，bn=3n+2； （）证明：cn=（），Tn=（1+）=（1），函数f（x）=为（0，+）的单调递减函数，Tn为单调递增，TnT1=，Tn点评： 本题考查等差数列的定义和通项、求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题19（14分）（2015春天津期末）已知数列an满足4an=an13（n2）且nN*，且a1=，设bn+2=3log（n
25、N*），数列cn满足cn=（an+1）bn（）求证an+1是等比数列并求出数列an的通项公式；（）求数列cn的前n项和Sn；（）对于任意nN*，t0，1，cntm2m恒成立，求实数m的取值范围考点： 数列的求和；等比数列的性质所有专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析： （）运用等比数列的定义可得an+1是等比数列，其中首项是a1+1=，公比为，再由等比数列的通项公式，即可得到所求；（）运用对数的性质，可得数列bn的通项，由错位相减法，即可得到前n项和Sn；（）运用作差法，可得数列cn的单调性，即有cn的最大值，再由恒成立思想及异常函数的性质，即可得到m的范围解答： 解：（）证明：
26、由4an=an13，则4an+4=an1+1，即（an+1）=（an1+1），an+1是等比数列，其中首项是a1+1=，公比为，an+1=（）n，即有an=（）n1；（）bn+2=3log（nN*），则bn=3n2，由（）知，an+1=（）n，bn=3n2，则cn=（3n2）（）n，前n项和Sn=1+4（）2+7（）3+（3n5）（）n1+（3n2）（）n，Sn=1（）2+4（）3+7（）4+（3n5）（）n+（3n2）（）n+1，两式相减得Sn=+3（）2+（）3+（）n（3n2）（）n+1=+3（3n2）（）n+1=（3n+2）（）n+1即有Sn=（）n；（）cn+1cn=（3n+1）（）n+1（3n2）（）n=9（1n）（）n+1；当n=1时，c2=c1=，当n2时，cn+1cn，即c1=c2c3c4cn，当n=1或n=2时，cn取最大值是，只须tm2m，即tm2m0对于任意t0，1恒成立，即即为，则m点评： 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列的单调性的运用：求最值，属于中档题
