1、第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第二节 排列与组合 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知 识梳 理 诊 断 1排列与排列数(1)排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作.顺序排成一列列的个数按照一定的所有不同排Amn2组合与组合数(1)组合从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数从 n 个
2、不同元素中取出 m(mn)个元素的，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作.合成一组合的个数所有不同组Cmn3排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式Amn =组合数公式Cmn AmnAmm =性质(1)Ann；(2)0！(1)C0n；(2)Cmn；(3)Cmn Cm1nCmn1备注n，mN*且 mnn(n1)(n2)(nm1)n！11 Cnmn1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两 个 组 合 相 同 的 充 要 条 件 是 其 中 的 元 素 完 全 相同()(3)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(
3、4)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立()(5)C22C23C24C25C2nC3n1()答案(1)(2)(3)(4)(5)2用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A8B24C48D120解析 第一步选个位数字，有 C12种选法；第二步选十位数字，有 A34种选法，共 C12A3448 种选 C.答案 C3从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生的选法共有()A36 种B30 种C42 种D60 种解析 直接法：选出 3 名志愿者中含有 1 名女生 2 名男生或 2 名女生 1 名男生，故共有 C12C26C22C16215636
4、种选法；间接法：从 8 名学生中选出 3 名，减去全部是男生的情况，故共有 C38C36562036 种选法答案 A4A、B、C、D、E 五人并排站成一排，如果 B 必须在A 的右边(A、B 可以不相邻)，那么不同的排法共有()A24 种B60 种C90 种D120 种解析 可先排 C、D、E 三人，共有 A35种，剩余 A、B两人只有一种排法故满足条件的排法共有 A35160 种答案 B5现有 11 个保送大学的名额分配给 8 个班级，每班至少有 1 个名额，则名额分配的方法共有()A56 种B112 种C120 种D240 种解析 解法一：每班至少有 1 个名额，则每班先分得 1个名额，剩
5、余的 3 个名额分配到 8 个班级的方法数就是所求的方法数若 3 个名额分配到 1 个班级有 8 种分法；若分配到 2 个班级有 A288756 种方法；若分配到 3 个班级有C3887632156 种分法，所以共有 85656120 种分法解法二：可以看作 11 个元素之间有 10 个间隔，分成 8份，相当于用 7 个挡板插入 10 个间隔中，共有 C3101098321120 种分法答案 C6(2016北京昌平期末)将序号为 1,2,3,4 的四张电影票全部分给 3 人，每人至少一张要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为_(用数字作答)解析 四张电影票连号的两张可能是 12,
6、23,34 三种情况，所以把电影票按要求分给三个人的分法种数为 3C13A2218.答案 18考 点题 型 突 破 考点一 排列问题互动型 (1)(2016四川卷)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24B48C60D72(2)(2016重庆调研)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192 种B216 种C240 种D288 种解析(1)由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1,3,5，其他位置共有 A44种排法，所以其中奇数的个数为 3A4472，故选 D.(2)第一类：甲在左端，有 A5554
7、321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有 4A444432196(种)方法所以共有 12096216(种)方法答案(1)D(2)B拓展探究(1)本例(2)中的条件改为“甲、乙必须相邻”，结果如何？(2)本例(2)中的条件改为“甲、乙之间间隔两人”，结果如何？解析(1)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余 4 人进行全排列有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根据分步计数原理，共有 A55A22240(种)站法(2)先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有 3A22种，故共有 A44(3A22)144(种)站法答案(1)
8、240(2)144解决排列问题的技巧(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法1(2016郑州联考)某班上午有 4 节课，现从 6 名教师中安排 4 人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为()A36B24C18D12解析 第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课，有 3 种方法；第二、三节从除上第
9、一节课的教师和丙教师外的四名教师中，任选两名分别上第二、三节课，有 A24种方法根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数为 3A2436.故选 A.答案 A2有标号分别为 1,2,3 的红色卡片 3 张，标号分别为 1,2,3的蓝色卡片 3 张，现将全部的 6 张卡片放在两行三列的格内(如图)若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为_(用数字作答).解析 分两种情况，第一行放红色卡片，有 A33A3336 种放法；第一行放蓝色卡片，有 A33A3336 种放法，所以符合题意的放法共有 72 种答案 72考点二 组合问题互动型 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各1 人选派 5
10、 人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2)至少有 1 名女运动员；(3)队长中至少有 1 人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员解(1)第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法共有 C36C24120(种)选法(2)解法一：至少有 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男由分类加法计数原理可得总选法数为 C14C46C24C36C34C26C44C16246(种)解法二：“至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解从 1
11、0 人中任选 5 人有 C510种选法，其中全是男运动员的选法有 C56种所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 C 510C 56246(种)(3)解法一(直接法)：可分类求解：“只有男队长”的选法为 C48；“只有女队长”的选法为 C48；“男、女队长都入选”的选法为 C38；所以共有 2C48C38196(种)选法解法二(间接法)：从 10 人中任选 5 人有 C510种选法其中不选队长的方法有 C58种所以“至少有 1 名队长”的选法为 C510C58196(种)(4)当有女队长时，其他人任意选，共有 C49种选法不选女队长时，必选男队长，共有 C48种选法，其中不含女运动员的选法有
12、C45种，所以不选女队长时的选法共有 C48C45种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有 C49C48C45191(种)解决组合应用题的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理1有甲、乙、丙 3 项任务，甲需 2 个人承担，乙、丙各需 1 个人承担，从 10 个人中选出 4 个人承担这 3 项任务
13、，不同的选法有()A1260 种B2025 种C2520 种D5040 种解析 要从 10 个人中选出 4 个人承担 3 项任务，甲需 2 个人承担，乙、丙各需 1 个人承担，先从 10 个人中选出 2 个人承担甲项任务，不同的选法有C210种；再从剩下 8 个人中选 1 个人承担乙项任务，不同的选法有 C18种；最后从另外 7 个人中选 1 个人承担丙项任务，不同的选法有 C17种综上，不同的选法共有 C210C18C172520(种)答案 C2将 7 支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有_种方法(用数字作答)解析 设有 A，B 两个笔筒，放入 A 笔筒的情况有 4
14、 种，分别为 2 支，3 支，4 支，5 支，一旦 A 笔筒的情况确定，则B 笔筒的情况也随之确定，且每一种情况对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的情况为 C27C37C47C57112 种答案 112考点三 分组分配问题共研型 角度 1：不等分问题 5 名医生和 3 名护士被分配到甲、乙 2 所学校为学生体检，每所学校至少分配 2 名医生和 1 名护士，则不同的分配方法有()A30 种B60 种C120 种D240 种解析 分四种情况：甲校分 2 名医生 1 名护士，此时有 C25C1330(种)不同的分配方法；甲校分 2 名医生 2 名护士，此时有 C25C2330(种)不同的
15、分配方法；甲校分 3 名医生 1 名护士，此时有 C35C1330(种)不同的分配方法；甲校分 3 名医生 2 名护士，此时有 C35C2330(种)不同的分配方法故共有 120 种分配方法答案 C角度 2：整体均分问题 某校高二年级共有 6 个班，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的 2 个班且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为()AA26C24B.12A26C24CA26A24D2A26解析 解法一：将 4 人平均分成两组有12C24种方法，将此两组分配到 6 个班中的 2 个班中，有 A26种方法，所以不同的安排方法有12C24A26种解法二：先从 6 个班中选 2 个班，有
16、 C26种方法，然后安排学生有 C24C22种方法，故有 C26C24C2212A26C24(种)安排方法答案 B角度 3：部分均分问题(2016衡水调研)某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派 1 名教师，则不同的分配方法有()A80 种B90 种C120 种D150 种解析 有两类情况：其中一所学校 3 名教师，另两所学校各 1 名教师的分法有 C35A3360(种)；其中一所学校 1 名教师，另两所学校各 2 名教师的分法有 C15C242 A3390(种)共有 150 种不同的分配方法答案 D解决分组分配问题的策略(1)对于不等分组，只需先分组，后排
17、列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 Ann(n 为均分的组数)，避免重复计数(3)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数1角度 1某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁 4名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排 1 名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为()A18B24C30D36解析 先计
18、算 4 名学生中有 2 名分在一所学校的种数，可从 4 名学生中选 2 名，和其余的 2 名看作 3 个元素的全排列，共有 C24A33种，再排除甲、乙被分在同一所学校的情况，共有 A33种，所以不同的安排方法种数是 C24A33A3336630，故选 C.答案 C2角度 2(2016唐山模拟)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法(用数字作答)解析 先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C26C24C22A33种方法，再将 3 组毕业生分到
19、3 所学校，有 A336 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有C26C24C22A33A3390 种不同的分派方法答案 903角度 3将标号为 1,2,3,4,5 的五个球放入 3 个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有_种放法(用数字作答)解析 先把编号为 1,2,3,4,5 的五个球分成 3 组，有两种分法：“1,1,3”分法，共有 C3510 种；“1,2,2”分法，共有C15C24215 种，故共有 25 种方法再放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，有 A336 种方法根据分步乘法计数原理，可得不同放法的种数是 256150.答案 150课 堂归 纳 小 结 方法
20、技巧易错点睛 解决排列组合问题“四项基本原则”1特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置2先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列3正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题4先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配.分类标准统一，避免重复和遗漏.名 师微 课 导 学 课题 54：重复计数致误名师导学：排列组合问题重点在弄清“按怎样的顺序”，结合问题情境找出排序及分组的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否每一种情况都考虑进去了，切忌重复
21、计数或遗漏计数 有 20 个零件，其中 16 个一等品，4 个二等品，若从 20 个零件中任意取 3 个，那么至少有 1 个一等品的不同取法有_种错解 先从一等品中取 1 个，有 C116种取法；再从余下的 19 个零件中任取 2 个，有 C219种不同取法，共有 C116C2192736 种不同取法正解 解法一：将“至少有 1 个是一等品的不同取法”分三类：“恰有 1 个一等品”，“恰有 2 个一等品”，“恰有 3 个一等品”，由分类加法计数原理有 C116C24C216C14C3161136 种解法二：考虑其对立事件“3 个都是二等品”，用间接法：C320C341136 种答案 1136(
22、1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素(位置)优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题(2)“至少、至多”型问题不能直接利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解1计划将排球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在四个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有()A60 种B42 种C36 种D24 种
23、解析 若 3 个项目分别安排在不同的体育馆，则安排方案共有 A3424(种)；若有 2 个项目安排在同一个体育馆，另1 个安排在其他体育馆，则安排方案共有 C23A2436(种)所以在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有 243660(种)答案 A2(2016贵阳模拟)3 名男生和 3 名女生站成一排，任何2 名男生都不相邻，任何 2 名女生也不相邻，共有_种排法(用数字作答)解析 第 1 步，3 名男生站成一排，有 A33种排法；第 2步，插入女生，女生只能插入 3 名男生形成的前 3 个空当或后 3 个空当中，有 2A33种插法由分步乘法计数原理可知，共有 2A33A3372 种排法答案 72请做：课时跟踪训练（五十四）
