1、题组层级快练(四十八)1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7B8C9 D10答案B解析1，整理得2n128，解得n7.初始值至少应取8.2设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.答案D3若数列an的通项公式an，记cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_.答案解析c12(1a1)2(1)，c22(1a1)(1a2)2(1)(1)，c32(1a1)(1a2)(1a3)2(1)(1)(1)，故由归纳推理得cn.4设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn.(1)求S1，
2、S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明答案(1)S1，S2，S3(2)Sn，证明略解析(1)由(S11)2S，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.(2)猜想：Sn.证明：当n1时，显然成立；假设当nk(k1且kN*)时，Sk成立则当nk1时，由(Sk11)2ak1Sk1，得Sk1.从而nk1时，猜想也成立综合得结论成立5已知数列an的各项都是正数，且满足：a01，an1an(4an)，(nN)证明：anan12，(nN)证明略证明方法一：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以a0a12，命题正确(2)假设nk时命
3、题成立，即ak1ak2.则当nk1时，akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak0，所以akak10.又ak1ak(4ak)4(ak2)22.所以nk1时命题成立由(1)(2)可知，对一切nN时有anan12.方法二：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以0a0a12.(2)假设nk时有ak1ak2成立，令f(x)x(4x)，f(x)在0,2上单调递增，所以由假设有f(ak1)f(ak)f(2)即ak1(4ak1)ak(4ak)2(42)也即当nk1时，akak12成立所以对一切n
4、N，有akak11，nN*.证明：当x1且x0时，(1x)p1px.答案略证明用数学归纳法证明，当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立7(2014陕西理选编)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式答案gn(x)解析
5、由题设，得g(x)(x0)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x).下面用数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立由可知，结论对nN*成立8(2015衡水调研)首项为正数的数列an满足an1(a3)，nN*.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；(2)若对一切nN*都有an1an，求a1的取值范围答案(1)略(2)0a13解析(1)证明：已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系，得ak1m(m1)1是奇数根据数学归纳法，可知对任何nN*，an都是奇数(2)方法一：由an1an(an1)(an3)，知当且仅当an3时，an1an.另一方面，若0ak1，则0ak13，则ak13.根据数学归纳法，可知nN*,0a110an3an3.综上所述，对一切nN*都有an1an的充要条件是0a13.方法二：由a2a1，得a4a130.于是0a13.an1an.因为a10，an1，所以对任意nN*，an均大于0.因此an1an与anan1同号根据数学归纳法，可知nN*，an1an与a2a1同号因此，对于一切nN*都有an1an的充要条件是0a13.
