1、3三个正数的算术几何平均不等式学习目标：1.探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值(重点)3.会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题(难点)教材整理1三个正数的算术几何平均不等式阅读教材P8P9定理3，完成下列问题1如果a，b，cR，那么a3b3c33abc，当且仅当abc时，等号成立2定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均已知a，b，c为正数，则有()A最小值为3B最大值为3C最小值为2 D最大值为2A33，当且仅当，即abc时，取等号教材整理2基本不等式的推广
2、阅读教材P9P9“例5”以上部分，完成下列问题对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立教材整理3利用基本不等式求最值阅读教材P9P9“习题1.1”以上部分，完成下列问题若a，b，c均为正数，如果abc是定值S，那么abc时，积abc有最大值；如果积abc是定值P，那么当abc时，和abc有最小值设x0，则yx的最小值为()A2 B2C3 D3Dyx33，当且仅当时取“”号证明简单的不等式【例1】设a，b，c为正数，求证：(abc)227.精彩点拨根据不等式的结构特点，运用abc3，结合不等式的性质证明自主解答a0，b0，c0，abc
3、30，从而(abc)290.又30，(abc)23927，当且仅当abc时，等号成立1(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0，b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看2连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致1(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数
4、且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24，所以(ab)3(bc)3(ca)324.用平均不等式求解实际问题【例2】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？精彩点拨根据题设条件建立r与的关系式，将它代入Ek，得到以为自变量，E为因
5、变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值自主解答r，Ek.E2sin2cos4(2sin2)cos2cos23，当且仅当2sin2cos2时取等号，即tan2，tan 时，等号成立h2tan ，即h时，E最大因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮1本题的关键是在获得了Ek后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值2解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解2制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20
6、元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？解设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为r2平方米，侧面积为2rh平方米设用料成本为y元，则y30r240rh.桶的容积为，r2h，rh.y30r210103，当且仅当3r2时，即r时等号成立，此时h.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米利用平均不等式求最值探究问题1利用不等式求最值的条件是什么？提示“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值2如何求yx2的最小值？提示yx233，当且仅当，即x时，等号成立，ymin3.其中把x2拆成和两个数，这样可
7、满足不等式成立的条件若这样变形：yx2x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为x2时x无解，不能求出y的最小值【例3】已知xR，求函数yx(1x2)的最大值精彩点拨为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2x2(1x2)2x2(1x2)(1x2)2x2(1x2)(1x2)，求出最值后再开方自主解答yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y23.当且仅当2x21x2，即x时等号成立y，y的最大值为.1解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：yx(1x2)x(1x)(1x)x(22x)(1x).虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和
8、为定值，但忽略了取“”号的条件，显然x22x1x无解，即无法取“”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的2解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可3若2ab0，试求a的最小值解a33，当且仅当，即ab2时取等号所以当ab2时，a有最小值为3.1已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3B2C12 D12Cx2y3z6，2x4y8z2x22y23z3312.当且仅当2x22y23z，即x2，y1，z时，等号成立2若ab0，则a的最小值为()A0 B1C2 D3Da(ab)b33，当且仅当a2，b1时取等号，a的最小值为3.故选D.3函数y4sin2xcos x的最大值为_，最小值为_解析y216sin2 xsin2xcos2x8(sin2xsin2x2cos2x)838，y2，当且仅当sin2x2cos2x，即tan x时取等号ymax，ymin.答案4函数f(x)5x(x0)的最小值为_解析f(x)5xxx315.当x，即x2时取等号答案155已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.
