1、第三章函数的概念与性质33幂函数目标 1.记住幂函数的定义，熟悉1,2,3，1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题重点 幂函数的定义、图象和性质难点 利用幂函数的性质解决有关问题知识点一幂函数的概念填一填一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数答一答1下列函数：y2x3；yx21；y(x1)3是幂函数吗？提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数知识点二幂函数的图象填一填五种常见幂函数的图象幂函数yx，yx2，yx3，yx1，y的图象如下图答一答2幂函数yx的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如yx
2、2.(2)01，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y.(3)0时，yx0，不可能出现y0时，yx在(0，)上是增函数；0时，yx在(0，)上是减函数类型一幂函数的概念例1下列函数：yx3；yx22x；y4x2；yx51；y(x1)2；yx.其中幂函数的个数为(B)A1B2C3D4解析为二次函数，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数，故选B.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.变式训练1(1)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k(C)A.B1C.D2(2)已知函数y(m22m2)xm22n3是幂函
3、数，则m3或1，n3或1.解析：(1)由幂函数定义知k1，把代入yx得，k.选C.(2)因为函数y(m22m2)xm22n3是幂函数，由幂函数的定义得解得m3或1，n.类型二幂函数的图象例2下图是幂函数yxm、yxn与yx1在第一象限内的图象，则(B )A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1解析由yxm的图象是横卧抛物线形，知0m1；由yxn的图象是双曲线，知n0.作直线xx0(0x01)，与yxn、yx1的图象分别交于点A、B，由“点低指数大”知n1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴变式训练2幂函数yx1及直线
4、yx，y1，x1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为，(如图所示)，那么幂函数y的图象经过的区域对应的序号有(D)ABCD解析：x(1)，当0x1时，x0，即x1时，x0，即x1，幂函数的图象经过区域.类型三幂函数的性质应用例3比较下列各组中三个数的大小分析本题考查幂函数比较幂值大小的方法分类比较对象方法指数相同，底数不同与利用幂函数的单调性底数相同，指数不同与利用不等式性质底数、指数都不同与寻找“中间量”或或或等变式训练3比较下列各组中两个值的大小：1.下列所给出的函数中，是幂函数的是(B)Ayx3Byx3Cy2x3Dyx312.如果幂函数f(x)的图象过点，那么f的值为(D)
5、A.B2C1D4解析：设f(x)x.f(x)的图象过点，4，解得.f(x)4.3.函数的图象是(B)解析：函数是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x1,00，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数幂函数 课时作业(15分钟30分)1.下列结论正确的是()A.幂函数图象一定过原点B.当1时，幂函数y=x是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-，0)及(0，+)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-，0)上是减函数，在(0，+)上是增函数，
6、故C不正确.2.已知幂函数f(x)=kx的图象过点12,2，则k+等于()A.12B.1C.32D.2【解析】选A.因为幂函数f(x)=kx(kR，R)的图象过点12,2，所以k=1，f12=12=2，即=-12，所以k+=12.3.在下列四个图形中，y=x-12的图象大致是()【解析】选D.函数y=x-12的定义域为(0，+)，是减函数.4.幂函数的图象过点(3，3)，则它的单调递增区间是()A.-1，+)B.0，+)C.(-，+)D.(-，0)【解析】选B.设幂函数为f(x)=x，因为幂函数的图象过点(3，3)，所以f(3)=3=3=312，解得=12，所以f(x)=x12，所以幂函数的单
7、调递增区间为0，+).5.(2020北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内()A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.【补偿训练】已知2.42.5，则的取值范围是_.【解析】因为02.42.5，所以y=x在(0，+)上为减函数，故0.答案：(-，0)6.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(-2m0，解得：-3m1.因为-2mf(x1)+f(x2)2(x1x20)的函数的个数是()
8、A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解决该题的关键是正确理解fx1+x22f(x1)+f(x2)2(x1x20)的含义.【解析】选A.函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1x20时，fx1+x22=f(x1)+f(x2)2；函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1x20时，fx1+x22x20时，fx1+x22x20时，fx1+x22f(x1)+f(x2)2；在第一象限，函数f(x)=1x的图象是一条凹形曲线，故当x1x20时，fx1+x22x20时，fx1+x22f(x1)+f(x2)2.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数中，
9、其定义域和值域相同的函数是()A.y=x13B.y=x-12C.y=x53D.y=x23【解析】选A、B、C.A中y=x13=3x，定义域、值域都为R；B中y=x-12=1x定义域与值域都为(0，+)；C中y=x53的定义域、值域也为R；D中y=x23=3x2定义域为R，而值域为0，+).三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2是幂函数，且在(0，+)上单调递减，则实数m=_.【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2中，令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1；当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=
10、x-2，在(0，+)上单调递减，满足题意；当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，在(0，+)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.答案：26.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(mZ)为偶函数，且在(0，+)上单调递增，则f(2)的值为_.【解析】因为幂函数f(x)=x-m2-2m+3(mZ)为偶函数，且在(0，+)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m2-2m+3=-(m+1)2+44，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，所以m=-1，即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案：16四、解答题7.(10分)已知幂函数f(x)=x(m2+m)-1(mN*)经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2-a)f(a-1)的实数a的取值范围.【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，2)，所以2=2(m2+m)-1，即212=2(m2+m)-1.所以m2+m=2.解得m=1或m=-2.又因为mN*，所以m=1.所以f(x)=x12，则函数的定义域为0，+)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)f(a-1)，得2-a0,a-10,2-aa-1,解得1a32.所以a的取值范围为1,32.
