1、高考资源网（） 您身边的高考专家3三个正数的算术几何平均不等式1.探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值3会用平均不等式解决实际中的应用问题1三个正数的算术几何平均不等式(定理3)如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意n个数的算术平均值不小于它们的几何平均值()(2)只对n2和n3的情形适用()(3)算数几何平均不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立()答案
2、：(1)(2)(3)2若a，b，c都是正数且abc6，则abc的最大值为()A2B27C8 D3解析：选C.因为a0，b0，c0，abc6，所以abc8，当且仅当abc2时“”成立3函数y2x2(xR)的最小值为()A6 B7C8 D9答案：A用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：.【证明】因为abcd，所以ab0，bc0，cd0，ad0，所以(ad)(ab)(bc)(cd)339，即，当且仅当abbccd时，等号成立证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件若满足即可利用平均不等式证明
3、(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式的式子 1.已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.2已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3.证明：因为x0，y0，xy0，所以2x2y2(xy)(xy)(xy)33，等号成立的条件是xy，即xy1.所以2x2y3.利用三个正数的算术几何平均不等式求最值求函数yx(x1)的最小值【解】因为x1，所以x10，yx(x1)(x1)1314，当且仅当(x1)(x1)，即x3时等号成立即ymin4.用平均不等式求最
4、值的注意点(1)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等 (2)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性若x0，求函数y4x2的最小值解：因为x0，所以y4x24x23 3.当且仅当4x2(x0)，即x时，取“”，所以当x时，y4x2(x0)的最小值为3.应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯众所周知，灯挂得太高，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的
5、由物理学知道，桌子边缘一点处的灯光亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？【解】因为r，所以Ek(00，y0，z0，且4(xyz)72，即xyz18.所以体积Vxyz216.当且仅当xyz6时，Vmax216.因此当长方体的长、宽、高均为6 cm时，其体积最大，最大值为216 cm3.2已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得，所
6、以r(Hh)所以V圆柱r2h(Hh)2h(0h0，b0，c0，等号成立的条件是abc.(2)与都是的特例，它们统称为均值不等式因此与基本不等式的应用是一样的(3)将不等式a3b3c33abc中的a，b，c分别以，代替就可得到.2定理3的两个推论(1)当abc为定值时：abc3，当且仅当abc时取等号(2)当abc为定值时：abc，当且仅当abc时取等号3用定理3求最值时的关注点一“正”：项或因式为正二“定”：项(因式)的和或积为定值三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立1正实数x，y，z满足xyz2，则()Axyz的最大值是3Bxyz的最大值是3Cxyz的最小值是3Dxyz的最小值是3解析
7、：选D.由三个正数的算术几何平均不等式，得xyz33，当且仅当xyz时，xyz取得最小值3.2设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为()A2B3C4 D6解析：选C.因为ab24a444134，当且仅当a1时，等号成立即ab2的最大值为4.3已知0x，则x2(12x)的最大值为_解析：因为0x，所以12x0，则x2(12x)xx(12x).当且仅当x12x，即x时等号成立故x2(12x)的最大值为.答案：4当x0时，(1)求yx的最小值(2)求yx的最小值解：(1)因为x0，所以yx33.当且仅当，即x2时，ymin3.(2)因为x0，所以yx44.当且仅当，即x3时，ymin4.A基础达标
8、1已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()Ayx22x36，所以ymin6By2x33，所以ymin3Cy2x4，所以ymin4Dyx(1x)(12x)，所以ymax解析：选C.A，B，D在使用不等式abc3(a，b，cR)和abc(a，b，cR)都不能保证等号成立，最值取不到C中，因为x0，所以y2x2224，当且仅当x，即x1时取等号2已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3B2C12 D12解析：选C.因为x2y3z6，所以2x4y8z33312.当且仅当x2y3z，即x2，y1，z时，等号成立3函数yx21(x0)的最小值是()A3 B3C3 D4解析：选D.由题意，yx
9、21，因为x0，所以yx21314，当且仅当x2，即x1时，函数取得最小值4.故选D.4设x，y，zR且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是()A(，lg 6B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：选B.因为x，y，zR，xyz6，所以lg xlg ylg zlg(xyz)lglg 233lg 2，当且仅当xyz2时，有最大值为3lg 2.5已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()AV BVCV DV解析：选B.设圆柱半径为r，则圆柱的高为h，所以圆柱的体积为Vr2hr2r2(32r).当且仅当r32r，即r1时取等号6将实数1分为三个正数之和，则这三
10、个正数之积的最大值是_解析：设这三个正数分别是a，b，c，则abc1，所以abc，当且仅当abc时，abc取得最大值.答案：7若ab0，则a的最小值为_解析：因为ab0，所以ab0.所以a(ab)b33，当且仅当，即时等号成立，所以当a2，b1时原式有最小值3.答案：38若实数x，y满足x，y0，且x2y2，则xyx2的最小值是_解析：由x2y2，得y，代入xyx2，得xyx2xx2x2x23，当且仅当x2，即x1，y2时取等号答案：39已知xR，求函数yx(1x2)的最大值解：因为yx(1x2)，所以y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).因为2x2(1x2)(1x2)2，所以y2.
11、当且仅当2x21x21x2，即x时，等号成立，所以|y|，即y的最大值为.10设a，b，c为正实数，求证：a3b3c32.证明：因为a，b，c为正实数，所以a3b3c333abc0，当且仅当abc时，等号成立又3abc2，当且仅当3abc时，等号成立所以a3b3c32.B能力提升1已知正实数a，b，c满足abc1，10，则abc的取值范围是_解析：由abc1可得1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac3(abbcac)，故有0abbcac.因为10，所以abc(abbcac)，所以0abc.答案：2设正数a，b，c满足abc1，则的最小值为_解析：因为a，b，c均为正数，且abc1，所以(
12、3a2)(3b2)(3c2)9.于是(3a2)(3b2)(3c2)339，当且仅当abc时等号成立，即1，故的最小值为1.答案：13设x，y，z0，且x3y4z6，求x2y3z的最大值解：因为6x3y4zyyy4z6，所以x2x3z1.所以x2，y1，z时，x2y3z取得最大值1.4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6，f(x)25(2x6)(x6)22542.当且仅当2x66x即x4时等号成立当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大高考资源网版权所有，侵权必究！
