1、正态分布基础梳理1正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，我们称，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线其中和，是正态总体的平均数与标准差(2)正态曲线的性质曲线关于直线x对称，当P(x1)P(x2)时必然有；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴围成的图形的面积为1；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)a，(x)dx，则称X的分布为正态分布，记作N(，2)(2)正态总体在三
2、个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(32)0.023，则P(2X2)等于()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977解析P(2X2)12P(X2)0.954.答案C5设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc1)P(Xc1)，则c等于()A1 B2 C3 D4解析2，图象关于x2对称，于是2，c2.答案B例题分析考向一正态曲线的性质【例1】若一个正态分布的概率密度函数是偶函数，且该函数的最大值为 .(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(4,4的概率解(1)图象关于y轴对称，即0.由，得4，故该正态分布的概率
3、密度函数的解析式是，(x)e，x(，)(2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.682 6.【训练1】 设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有(A)A12，12B12，12C12，12D12，12考向二服从正态分布的概率计算【例2】设XN(1,22)，试求(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)解XN(1,22)，1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)P(3X5)P(3X1)，P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.
4、135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.【训练2】 随机变量服从正态分布N(1，2)，已知P(0)0.3，则P(2)_.解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x1对称，所以P(2)P(0)0.3，P(2)10.30.7.答案0.7考向三正态分布的应用【例3】2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽
5、车的耗油量服从正态分布N(8，2)，已知耗油量7,9的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有_辆解由题意可知N(8，2)，故正态分布曲线以8为对称轴，又因为P(79)0.7，故P(79)2P(89)0.7，所以P(89)0.35，而P(8)0.5，所以P(9)0.15，故耗油量大于9升的汽车约有12000.15180辆【训练3】 工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5尺寸范围的零件大约有多少个？解XN，4，.不属于区间(3,5的概率为P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)10.997 40.00
6、2 60.003，1 0000.0033(个)，即不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有3个达标练习一、选择题1已知随机变量X服从正态分布N(3，2)则P(X3)等于()A. B. C. D.解析由图象知，3为该图象的对称轴，P(X3).答案D2设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是，则等于()A1 B4 C2 D不能确定解析函数f(x)x24x没有零点时，1640，即4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点的概率是时，4.答案B3已知随机变量XN(3,22)，若X23，则D()等于()A0 B1 C2 D4解析由X23，得D(X)4D(
7、)，而D(X)24，D()1.答案B4标准正态总体在区间(3,3)内取值的概率为()A0.998 7 B0.997 4 C0.944 D0.841 3解析标准正态分布N(0,1)，区间(3,3)，即(3，3)，P0.997 4.答案B二、填空题5已知正态分布总体落在区间(0.2，)的概率为0.5，那么相应的正态曲线，(x)在x_时达到最高点解析P(X0.2)0.5，P(X0.2)0.5，即x0.2是正态曲线的对称轴当x0.2时，(x)达到最高点答案0.26某班有50名学生，一次考试后数学成绩(N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90100)0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的
8、人数为_解析由题意知，P(110)0.2，该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.25010.答案107在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，2)(0)若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为_解析X服从正态分布(1，2)，X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.X在(0,2)内取值概率为0.40.40.8答案0.8三、解答题8某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率解由30，10，P(X)0.682 6知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P
9、(2X2)0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 40.682 60.271 8，由正态曲线关于直线x30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.9若一批白炽灯共有10000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是，(x)e，x(，)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数(1)20962096；(2)2091820918.解由X的概率密度函数知209，6.2096，2096.32096320918，32096320918.因此光通量X的取值在区间(2096,2096)，(20918,20918)内的概率应分别是0.
10、682 6和0.997 4.(1)光通量X在2096 2096内的灯泡个数大约是10 0000.682 6 6 826.(2)光通量在2091820918内的灯泡个数大约是10 0000.997 49 974.B级综合创新备选一、选择题1已知三个正态分布密度函数i(x)e(xR，i1,2,3)的图象如图所示，则()A123，123B123，123C123，123D123，123解析123.123.答案D2在正态分布N中，数值前在(，1)(1，)内的概率为()A0.097 B0.046 C0.03 D0.0026解析0，P(X1或x1)1P(1x1)1P(3X3)10.997 40.002 6.
11、答案D3已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为()A0.3% B0.23%C1.5% D0.15%解析392，3140，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.7%，成绩在140分以上的考生所占的百分比为0.15%.答案D4在正态分布N中，数值落在(，1)(1，)内的概率为() A0.097 B0.046 C0.03 D0.002 6解析0，P(x1或x1)1P(1x1)1P(3x3)10.997 40.002 6. 答案D二、填空题5设随机变量服从正态分布N(0,1)，记(x)P(x)，给出下列结论：(0)0.5；(x
12、)1(x)；P(|2)2(2)1.则正确结论的序号是_答案6商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布XN(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.810.2 kg的概率是_解析P(9.8X10.2)P(100.2X100.2)0.954 4.答案0.954 4三、解答题7数学考试中考生的成绩服从正态分布，即N(100,100)，满分为150分(1)试求考试成绩位于区间(80,120内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数解(1)由N(100,100)知100，10.P(80120)P(1002010020)0.954 4，
13、即考试成绩位于区间(80,120内的概率为0.954 4.(2)P(90110)P(1001010010)0.682 6，P(110)(10.682 6)0.158 7，P(90)0.682 60.158 70.841 3.及格人数为2 0000.841 31 683(人)8数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？解设学生的得分情况为随机变量X，XN(60,100)则60，10.P(30X90)P(60310X60310)0.997 4.P(X90)1P(30X90)0.001 3学生总数为：10000(人)
