1、导数题型分类（A）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则（一）导数的定义：函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数，记作或，即如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数在处的导数，就是导函数在处的函数值，即。例1.函数处的导数为A，求。例2。（二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ：； ； 法则1： 法则2： 法则3： （理）复合函数的求导：若，则如，_;_公式的特例：_; _, _.题型二
2、：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜率.因此，如果存在，则曲线在点（）处的切线方程为_例1若函数满足，则的值 例2设曲线在点处的切线与直线垂直，则 练习题1曲线在点处的切线方程是 2若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为 （1，0） 3若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 4求下列直线的方程：（注意解的个数） （1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5)的切线；解：（1） 所以切线方程为 （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有，
3、由联立方程组得，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为5设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，则点P横坐标的取值范围为()A1， B1,0 C0,1 D，16.下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（ ）A.y=sinx B. C. D.y=ln(1+x)x7. 设f(x),g(x)是R上的可导函数，分别为f(x),g(x)的导数，且，则当axf(b)g(x) B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x) D.f(x)g(x)f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数
4、的单调性1. 设函数在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内，则在这个区间内单调递增；如果在这个区间内，则是这个区间内单调递减.2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数； （2）解方程；（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间3.若函数在区间上单调递增，则在恒成立.例：1.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）（A）(，)（B）(，2)（C）(，)（D）(2，3)2. 函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是_.3.已知函数在R上单调递增,则的取值范围是_.题型四：利用导数研究函数的极值、最值。1 在区间上的最大值是 2 2已知函数处有极大
5、值，则常数c 6 ；3函数有极小值 1 ,极大值 3 yxO12-14已知函数f (x)的导函数的图象如右图所示，那么函数f (x)的图象最有可能的是( )yxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO12-2D5.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）A.-1a2 B.a-3或a6 C.-3a6 D.a-1或a2作业和练习：1.已知函数在区间（，1）上有最小值，则函数在区间（1，+）上一定（ ）A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数2已知函数在处取得极值，求过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程.3已知函数（1）求f(x)的最小值（2
6、）若对所有x1都有f(x)ax-1,求a的取值范围.4 已知函数 其中a为大于零的常数. （1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值 （2）当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围.5已知函数的切线方程为y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式； （）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值； （）若函数在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由过的切线方程为： 而过故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）当 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又由知2a+b=0。 依题意在2，1上恒有0，即 当；当；当 综上所述，参数b的取值范围是6已知三
7、次函数在和时取极值，且(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件解：(1) ，由题意得，是的两个根，解得，再由可得(2) ，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数函数的极大值是，极小值是(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为（）而，即于是，函数在区间上的值域为令得或由的单调性知，即综上所述，、应满足的条件是：，且7已知函数，（）设函数，求函数的单调区间；()若在上存在一点，使得成立，求的取值范围8设函数（1）若的图象与直
8、线相切，切点横坐标为，且在处取极值，求实数 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点 解：（1） 由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）当b=1时，因故方程有两个不同实根不妨设，由可判断的符号如下：当；当；当因此是极大值点，是极小值点，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函数( A )xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-
9、2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数 （1）求函数的单调区间、极值.（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.解：（1）=，令得 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-极小极大 在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减时，时， （2），对称轴，在a+1，a+2上单调递减 ，依题， 即解得，又 a的取值范围是2已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：
10、（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c2题型七：利用导数研究方程的根1已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t23)，=-k+t，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1
11、)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.解：(1)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0 =0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t=1时，f(t)有
12、极大值，f(t)极大值=.当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k时,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)当k=或k=时,方程f(t)k=0有两解；(3) 当k时,方程f(t)k=0有三解. 2已知函数的单调减区间为（0，4） （I）求的值； （II）若对任意的总有实数解，求实数的取值范围。解：（I） 又4分 （II）且12分题型八：导数与不等式的综合1设在上是单调函数.（1）求实数的取值范围；（2）设1，1，且，求证：.解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.若在
13、上是单调递增函数，则，由于.从而0a3.（2）方法1、可知在上只能为单调增函数. 若1，则 若1矛盾，故只有成立.方法2：设，两式相减得 1,u1，2已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（）求函数的单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，所以的取值范围是，由或；由的单调递增区间是；单调减区间为易知的最大值为，的极小值为，又在上的最大值，最小值对任意，恒有3已知函数(1)当时，判断在定义域上的单调性; (2)若在上的最小值是，求的值;(3)设，若在上恒成立，求的取值范围.题型九：导数在实际中的应用1请您设计一个帐
14、篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多
15、少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型十：导数与向量的结合1设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。解：（1）（2）则在上有由；由。因为在t上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。
