1、23.1离散型随机变量的均值知识点离散型随机变量的均值或数学期望1离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2均值的性质若YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量；(2)E(aXb)aE(X)b.知识点两点分布、二项分布的均值(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)p.(2)二项分布：若XB(n，p)，则E(X)np.要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论：(1)E(C)C(C为常数)；(2)E(aX1bX2
2、)aE(X1)bE(X2)；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同()(3)若随机变量的数学期望E()3，则E(45)7.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)若随机变量的分布列为012P0.20.3m则的数学期望E()_.(2)设随机变量XB(16，p)，且E(X)4，则p_.(3)设口袋中有黑球、白球共7个，从中有放回地依次任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_答案(1)1.3(2)(3)3解析
3、(1)由题意可知m0.5，故的数学期望E()00.210.320.51.3.(2)若随机变量XB(16，p)，且E(X)4，则16p4，所以p.(3)设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，因为每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，所以符合二项分布，所以2，所以n3.探究1求离散型随机变量的均值例1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分的数学期望解取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为
4、P(5)，P(6)，P(7)，P(8).随机变量的分布列为5678P所以E()5678.拓展提升求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定的可能取值；(2)计算出P(k)；(3)写出分布列；(4)利用E()的计算公式计算E()盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值解X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)1231.5.金版教程|数学选修23A第二章随机变量及其分布探究2均值性质的应用例2已知某一随机变量的概率分布列如下，且E()6
5、.3.4a9P0.50.1b(1)求b；(2)求a；(3)若23，求E()解(1)由随机变量的分布列的性质，得050.1b1.解得b0.4.(2)E()40.5a0.190.46.3.解得a7.(3)由公式E(aXb)aE(X)b得E()E(23)2E()326.339.6.拓展提升求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用求均值的公式求解对于求aXb型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出随机变量(aXb)的分布列，再用定义求解已知随机变量的分布列为101Pm若a3，E()，则a_.答案2解析由分布列的性质，得m1，即m，所以E()(1)01.
6、则E()E(a3)aE()3，即a3，得a2.探究3离散型随机变量均值的实际应用例3某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张每次抽奖互不影响(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为(单位：元)，用表示，并求的数学期望解(1)每张奖券是否中奖是相互独立的，B.P(0)C4，P(1)C4，P(2)C4，P(3)C4，P(4)C4.的分布列为01234P(2)B，E()42.又由题意可知2300100
7、，E()E(2300100)2300100E()230010022100.即所求变量的数学期望为2100元拓展提升解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等
8、品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解(1)X的所有可能取值有6,2,1，2，P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.即1件产品的平均利润为4.34万元(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)，依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.
9、1.求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值.2.若X，Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.1今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)()A0.765 B1.75 C1.765 D0.22答案B解析P(X0)(10.9)(10.85)0.10.150.015；P(X1)0.9(10.85)0.85(10.9)0.22；P(X2)0.90.850.765.E(X)
10、00.01510.2220.7651.75.2已知随机变量的分布列为4a910P0.30.1b0.2若E()7.5，则a等于()A5 B6 C7 D8答案C解析由题意得，得3抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望为_答案解析一次试验成功的概率为1，故XB，因此X的数学期望为.4随机变量的概率分布列如下表：123P？！？尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E()_.答案2解析设“？”处的数值为t，则“！”处的数值为12t，所以E()t2(12t)3t2.5交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望解设为抽到的2球钱数之和，则的取值如下：2(抽到2个1元)，6(抽到1个1元，1个5元)，10(抽到2个5元)所以由题意得P(2)，P(6)，P(10).所以E()2610.又设为抽奖者获利的可能值，则5，所以抽奖者获利的数学期望为E()E()55.
