1、1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数内 容 标 准学 科 素 养1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，并能利用单调性证明一些简单的不等式；3.能利用导数求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).加强直观探索提升逻辑推理强化数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 函数的单调性与导数预习教材P2226，思考并完成以下问题1已知函数 y11x，y22x，y3x2 的图象如图所示结合图象写出以上三个函数的单调区间提示：函数 y11x的单调递减区间为(，0)和(
2、0，)，函数 y22x 的单调递增区间为(，)，函数 y3x2的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)2判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正、负提示：y1 1x2在(，0)及(0，)上均为负值；y22xln 2 在(，)上为正值；y32x 在(，0)上为负值，在(0，)上为正值知识梳理(1)函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递f(x)0单调递增减提醒：如果函数 f(x)在区间(a，b)上恒有 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内是常数函数(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数
3、 yf(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值的变化函数的图象越大比较“”(向上或向下)越小比较“”(向上或向下)快慢陡峭平缓提醒：导数的绝对值越大，越陡峭思考：1.若函数 f(x)在定义域上都有 f(x)0，则函数 f(x)在定义域上一定单调递减吗？提示：不一定，如函数 y1x的导函数 y 1x20 恒成立，但是函数 y1x的图象不是恒下降的2已知函数 f(x)在区间a，b上单调递增，则 f(x)0 恒成立吗？提示：不一定，如函数 yx3在1,3上单调递增，但是 y3x2 在 x0 处的值为 0.3函数在区间(a，b)上的导数与单调性的关系是怎样的？提示：(1)若在某区间上有有限个点使
4、 f(x)0，其余的点恒有 f(x)0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)，都有 f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上 f(x)不恒为 0.4利用导数解决单调性问题需注意哪些问题？提示：(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点自我检测1设 yxln x，则此函数在区间(0,1)内为()A单调递增B有增有减C单调递减D不确定解析：y11x，当 x(0,1
5、)时，y0，则函数 yxln x 在区间(0,1)内单调递减故选 C.答案：C2已知 e 为自然对数的底数，函数 yxex 的单调递增区间是()A1，)B(，1C1，)D(，1解析：f(x)xexf(x)ex(x1)，令 f(x)0 x1，所以函数 f(x)的单调递增区间是1，)故选 A.答案：A3若 f(x)12x2bln x 在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是_解析：由题，则 f(x)x2bx0 在 x(1，)上恒成立，即 bx2 在 x(1，)上恒成立因为 x21，所以 b1.答案：(，1探究一 导数与函数图象的关系例 1(1)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，
6、则函数 yf(x)的图象可能是()(2)已知 yxf(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是()(3)函数 yf(x)在定义域32，3 内可导，其图象如图，记 yf(x)的导函数为 yf(x)，则不等式 f(x)0 的解集为_解析(1)由当 f(x)0 时，函数 f(x)单调递减，当 f(x)0 时，函数 f(x)单调递增，则由导函数 yf(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 A，C，且 f(0)0，所以在 x0 附近函数应单调递增，排除 B.(2)当 x0 时，yxf(x)在0，b上恒大于等于零f(x)0 在0，b上恒成立，故f(x)在0，
7、b上递增，当 x0 时，f(x)0 在(，0上恒成立，故 f(x)在(，0上递减，只有 D 满足(3)函数 yf(x)在区间13，1 和区间(2,3)上单调递减，所以在区间13，1 和区间(2,3)上，yf(x)0，所以 f(x)0 的解集为13，1(2,3)答案(1)D(2)D(3)13，1(2,3)延伸探究 1.若本例(3)中的条件不变，试求不等式 f(x)0 的解集解析：根据题目中的图象，函数 yf(x)在区间32，13 和区间(1,2)上为增函数，所以在区间32，13 和区间(1,2)上，yf(x)0，所以 f(x)0 的解集为32，13(1,2)2若本例(3)中的条件不变，试求不等式
8、 xf(x)0 的解集解析：由例(3)及延伸探究 1 以及已知条件可知，当 x13，0 时，函数为减函数，则 f(x)0；当 x(1,2)时，函数为增函数，则 f(x)0.综上可知：xf(x)0 的解集为13，0(1,2)方法技巧 函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若 f(x)0，则 yf(x)在(a，b)上单调递增；如果 f(x)0，则 yf(x)在这个区间上单调递减；若恒有f(x)0，则 yf(x)是常数函数，不具有单调性(2)导
9、数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f(x)0 且越来越大f(x)0 且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)0 且越来越小绝对值越来越大f(x)0 且越来越大绝对值越来越小跟踪探究 1.设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf(x)的图象可能为()解析：由函数的图象知：当 x0 时，函数单调递增，导函数应始终为正；当 x0 时，函数先增后减再增，导函数应先正后负再正，对照选项，只有 D 正确答案：D探究二 利用导数求函数的单调区间例 2 求下列函数的单调区间(1)f(x)x33x；(2)f(x)ln xx；(3)f(x)
10、exx2.解析(1)函数的定义域为 R，f(x)x33x，所以 f(x)3x23，解 f(x)0，即 3x230，得 x1 或 x1，解 f(x)0，即 3x230，得1x1，所以函数的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1,1)(2)函数的定义域为(0，)，f(x)ln xx，所以 f(x)1x1，解 f(x)0，即1x10，得 0 x1，解 f(x)0，即1x10，得 x1，所以函数的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(3)函数的定义域为(，2)(2，)，f(x)exx2，所以 f(x)exx2exx22exx3x22，解 f(x)0，得 x3，解 f(x)0，
11、得 x2 或 2x3.所以函数的单调递增区间为(3，)，单调递减区间为(，2)和(2,3)方法技巧(1)求函数单调区间的步骤(2)注意事项求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开，不能用符号“”连接跟踪探究 2.已知函数 f(x)ax33x213a，讨论函数 f(x)的单调性解析：由题设知 a0.f(x)3ax26x3axx2a，令 f(x)0，得 x10，x22a.当 a0 时，若 x(，0)，则 f(x)0.所以 f(x)在区间(，0)上为增函数若 x0，2a，则 f(x)0，所以 f(x)在区间0，2a
12、上为减函数若 x2a，则 f(x)0，所以 f(x)在区间2a，上是增函数当 a0 时，若 x，2a，则 f(x)0.所以 f(x)在，2a 上是减函数若 x2a，0，则 f(x)0.所以 f(x)在区间2a，0 上为增函数若 x(0，)，则 f(x)0.所以 f(x)在区间(0，)上为减函数探究三 已知函数单调性求参数的取值范围例 3 已知函数 f(x)x2ax(x0，常数 aR)，若函数 f(x)在 x2，)上是单调递增的，求 a 的取值范围解析 f(x)2x ax22x3ax2.要使 f(x)在2，)上是单调递增的，则 f(x)0 在 x2，)时恒成立，即2x3ax20 在 x2，)时恒
13、成立因为 x20，所以 2x3a0，所以 a2x3 在 x2，)上恒成立所以 a(2x3)min.因为 x2，)，y2x3 是单调递增的，所以(2x3)min16，所以 a16.当 a16 时，f(x)2x316x20(x2，)有且只有 f(2)0，所以 a 的取值范围是(，16延伸探究 若将本例中的“x2，)”改为“x(，2”，且 f(x)在(，2上是单调递减的，则 a 的取值范围是什么？解析：由例 3 可知，要使 f(x)在(，2上单调递减，只需 f(x)0 在 x(，2上恒成立即2x3ax20 在(，2上恒成立因为 x20，所以 2x3a0，即 a2x3.因为 x(，2时，y2x3 是单
14、调递增的所以(2x3)max22316.所以 a16.当 a16 时，f(x)2x38x20(x(，2)有且只有 f(2)0.因此，实数 a 的取值范围是16，)方法技巧(1)由函数 yf(x)，xa，b的单调性求参数的取值范围的步骤求导数 yf(x)转化为 f(x)0 或 f(x)0 对 xa，b恒成立问题由不等式恒成立求参数范围验证等号是否成立(2)恒成立问题的重要思路mf(x)恒成立mf(x)max.mf(x)恒成立mf(x)min.跟踪探究 3.若函数 f(x)2x2ln xax 在定义域上单调递增，求实数 a 的取值范围解析：函数 f(x)2x2ln xax 在定义域上单调递增，由
15、f(x)4x1xa0 在(0，)上恒成立，即 a4x1x(x0)恒成立令 g(x)4x1x，则 ag(x)min.g(x)4x1x4(x14x)414，当且仅当 x12时取等号，故 a4.当 a4 时，f(x)4x1x44x24x1x2x12x0 恒成立，满足题意，所以 a4，故 a 的取值范围是(，4.课后小结(1)导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度(2)利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤：确定函数 f(x)的定义域；求导数 f(x)；在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0；根据的结果确定函
16、数 f(x)的单调区间(3)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f(x)0(或 f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意；先令 f(x)0(或 f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时，f(x)是否满足题意素养培优不会构造函数造成思维受阻易错案例：已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数为 f(x)，若 f(x)f(x)4，f(0)5，则不等式 f(x)ex4 的解集是()A(，1 B(0，)C(，0)D(1，)易错分析：解关于抽象函数的不等式问题，关键点也是难点就是构造合适的函数，构造新函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数从而可有效达成数学抽象的核心素养自我纠正：构造函数 g(x)fxex 4ex，有 g(0)1，则 g(x)fxfxex4exfxfx4ex0.所以 g(x)在 R 上为减函数则不等式 f(x)ex4 等价于fxex 4ex1，即 g(x)g(0)所以 x0.答案：C04 课时 跟踪训练
