1、2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1全集U=R，集合A=x|2x2x10，B=x|1x2，xZ，则图中阴影部分所表示的集合为（）A1，2B1，0C0，1D1，22给定下列两个命题：p1：a，bR，a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p23在等差数列an中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A30B24C18D124圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD25已知，是两个平面，直线l，则“”是“l”的（）
2、A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不要条件6平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A矩形B菱形C正方形D梯形7若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A1BCD8已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）单调递增若实数a满足f（log2a）+f（a）2f（1），则a的最小值是（）AB1CD29将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值为（）ABCD10已知函数f（x）=|xex|t有三个零点，
3、则实数t的取值范围为（）A（0，）B（0，1）C（，1）D（0，二、填空题11已知函数f（x）=m|x3|，若不等式f（x）2的解集为（2，4），则实数m的值为12已知x0，y0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是13在ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 ABCD中，若G为BCD的重心，则可得一个类比结论：14一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积15定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是三、解答题16已知f（x）=cosx（msi
4、nxcosx）+sin2（+x）（m0）的最小值为2（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosAacosB，求f（C）的取值范围17在如图所示的空间几何体中，边长为2的正三角形ABC所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，DE在平面ABE内的射影为AEB的平分线且DE与平面AEB所成的角为60，DE=2（）求证：CD平面ABC；（）求二面角ABED的余弦值18设正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14（）求数列an的通项公式；（）设bn=an1，求+19已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定
5、成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润20已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形（）求椭圆E的方程（）设过点M（0，t）（t0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围21已知函数f（x）=（mx1）exx2（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）
6、处的切线斜率为e2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）x2+mxm有且仅有两个整数解，求实数m的取值范围2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1全集U=R，集合A=x|2x2x10，B=x|1x2，xZ，则图中阴影部分所表示的集合为（）A1，2B1，0C0，1D1，2【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】阴影部分表示的集合为BUA，根据集合关系即可得到结论【解答】解：阴影部分表示的集合为BUA，UA=A=x|2x2x10=x|x1，B=1，0，1，2，BUA=0，1，故选：C2给定下列两个命题：p1：a，bR，
7、a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p2【考点】复合命题的真假【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：a2ab+b2=（ab）2+b20，a，bR，a2ab+b20不成立，即命题p1为假命题在三角形ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB成立，即命题p2为真命题则（p1）p2为真命题，其余为假命题，故选：D3在等差数列an中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A30B24C18D12【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列的性
8、质得2a1+13d=12，再由3a7+a9=4a1+26d，能求出结果【解答】解：等差数列an中，a5+a10=12，2a1+13d=12，3a7+a9=4a1+26d=2（2a1+13d）=24故选：B4圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【解答】解：圆x2+y22x8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y1=0的距离d=1，解得：a=，故选：A5已知，是两个平面，直线l，则“”是“l”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分
9、条件D既不充分也不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用面面垂直的判定定理即可判断出结论【解答】解：l，直线l，反之不成立“”是“l”的必要不充分条件故选：C6平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A矩形B菱形C正方形D梯形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【分析】根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形再由，得对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形【解答】解：，即，可得线段AB、CD平行且相等四边形ABCD是平行四边形又，即，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B7若A为不等式组表示的平
10、面区域，则当a从2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A1BCD【考点】简单线性规划【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是AOB，动直线x+y=a（即y=x+a）在y轴上的截距从2变化到1知ADC是斜边为3的等腰直角三角形，EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=SADCSEOC=311=故答案为：D8已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）单调递增若实数a满足f（log2a）+f（a）2f（1），则a的最小值是（）AB1CD2【
11、考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，等价为f（log2a）+f（log2a）=2f（log2a）2f（1），即f（log2a）f（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）单调递增，f（log2a）f（1）等价为f（|log2a|）f（1）即|log2a|1，1log2a1，解得a2，故a的最小值是，故选：C9将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值为（）ABCD【考点】函
12、数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后，得到函数g（x）=sin2（x）+=sin（2x2+）的图象，由于f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），sin=，sin（2+）=，=，2+=，=，故选：D10已知函数f（x）=|xex|t有三个零点，则实数t的取值范围为（）A（0，）B（0，1）C（，1）D（0，【考点】函数零点的判定定理【分析】令f（x）=0，即为方程|xex|=t有三个不相等的实数解，即y=t与函数y=|xex|的图象有三个交点，利用导数法分析
13、g（x）=xex的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xex|的图象，数形结合可得答案【解答】解：令f（x）=0，即为|xex|=t，令g（x）=xex，则g（x）=（1+x）ex，当x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，故g（x）=xex在（，1）上为减函数，在（1，+）上是减函数，g（1）=，又由x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0，故函数y=|xex|的图象如下图所示：故当t（0，）时，y=t与函数y=|xex|的图象有三个交点，即方程|xex|=t有三个不相等的实数解，故t的取值范围是（0，），故选：A二、填空题11已知函数f（x）=m|x3|，若不等式f（x
14、）2的解集为（2，4），则实数m的值为3【考点】绝对值不等式的解法【分析】由题意，即可求出实数m的值【解答】解：由题意，m=3，故答案为312已知x0，y0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+2+2=4， 当且仅
15、当x=3y时取等号，故答案为：413在ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 ABCD中，若G为BCD的重心，则可得一个类比结论：【考点】向量在几何中的应用【分析】“在ABC中，D为BC的中点，则有，平面可类比到空间就是“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”，可得结论【解答】解：由“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则有故答案为：14一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4
16、的组合体分别求得体积再相加【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=424=64V四棱锥=Sh1=423=16所以V=64+16=8015定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是【考点】简单线性规划的应用；导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案【解答】解：由图可知，当x0时，导函数f（x）0，原函数单调递增，两
17、正数a，b满足f（2a+b）1，又由f（4）=1，即f（2a+b）4，即2a+b4，又由a0b0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（2，2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则（，3）；故答案为：（）三、解答题16已知f（x）=cosx（msinxcosx）+sin2（+x）（m0）的最小值为2（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosAacosB，求f（C）的取值范围【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=si
18、n（2x），其中tan=，由其最小值为2，可得m，进而可求，求得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2sinCcosA，结合sinC0，可求A=，由范围C（0，），可得2C的范围，利用正弦函数的性质即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（）f（x）=cosx（msinxcosx）+sin2（+x）=msinxcosxcos2x+sin2x=msin2xcos2x=sin（2x），其中tan=，由其最小值为2，可得： =2，解得：m2=12，m0，可得：m=2，tan=，=，f（x）=2sin（2x），令2k2x2k+，kZ，解
19、得：kxk+，kZ，函数f（x）的单调递增区间为：k，k+，kZ6分（）bcosA=2ccosAacosB，即bcosA+acosB=2ccosA，由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，C为三角形内角，sinC0，cosA=，可得A=，C（0，），可得：2C（，），sin（2C）（，1，f（C）=2sin（2C）（1，212分17在如图所示的空间几何体中，边长为2的正三角形ABC所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，DE在平面ABE内的射影为AEB的平分线且DE与平面AEB所成的角为60，DE=2（）求证：CD平面ABC；
20、（）求二面角ABED的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）取AB中点O，连结OC，OE，以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD平面ABC（）求出平面ABE的法向量和平面BED的法向量，利用向量法能求出二面角ABED的余弦值【解答】证明：（）取AB中点O，连结OC，OE，ABC与ABE均为边长为2的正三角形，且平面ABC平面ABE，CO平面ABE，COAO，COOE，又OEAO，以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，0，0），C（0
21、，0，），E（0，0），O（0，0，0），又ED在平面ABE内的投影为AEB的平分线，且DE于平面ABE所成角为60，DE=2，D（0，），=（0，），=（1，0，0），=（0，0，），=0， =0，CDOA，CDOC，又OAOC=O，CD平面ABC解：（）OC平面ABE，取=（0，0，）为平面ABE的法向量，设平面BED的法向量=（x，y，z），则有：，取z=1，得=（3，），设二面角ABED的平面角为，则有：cos=二面角ABED的余弦值为18设正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14（）求数列an的通项公式；（）设bn=an1，求+【考点】数列的求和；数列递
22、推式【分析】（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14可得n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2，可得Sn+1=2Sn+2，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出（II）bn=an1=2n1，可得=利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1=2n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2=4，Sn+1=2Sn+2，n2时，Sn=2Sn1+2，可得：an+1=2an（n=1时也成立）数列an是等比数列，首项与公比都为2，an=2n（II）bn=an1=2
23、n1，=+=+=119已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润【考点】函数模型的选择与应用【分析】（）根据年利润=年销售收入年总成本，可得年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（）由（）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果【解答】解：（）当
24、0x10时，y=x（13.5x2）205.4x=8.1xx320，当x10时，y=（）x205.4x=1482（+2.7x），y=，（）当0x10时，y=8.1x2，令y=0可得x=9，x（0，9）时，y0；x（9，10时，y0，x=9时，ymax=28.6万元；当x10时，y=1482（+2.7x）148120=22（万元）（当且仅当x=时取等号）综合知：当x=9时，y取最大值故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大20已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形（）求椭圆E的方程（）设过点M（0，t）（t0）的直线l与椭圆
25、E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|AB|=2，点M在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4ktx+2t22=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出t的取值范围【解答】解：（1）由题意，解得a=，b=c=1椭圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，A，B为椭圆的上下顶点，且|AB|=2，点N总在以线段AB为直径的圆内，且t0，0t1，点M在椭圆内，由方
26、程组，得（2k2+1）x2+4ktx+2t22=0，直线l与椭圆E有两个公共点，=（4kt）24（2k2+1）（2t22）0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，设AB的中点G（x0，y0），则=，G（，），|NG|=，|AB|=2，点N总位于以线段AB为直径的圆内，|NG|对于kR恒成立，化简，得2t2k4+7t2k2+3t22k4+3k2+1，整理，得t2，而g（k）=11=，当且仅当k=0时，等号成立，t2，由t0，解得0t，t的取值范围是（0，）21已知函数f（x）=（mx1）exx2（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为e2，求函数f（x）的单调区间；（2）若
27、关于x的不等式f（x）x2+mxm有且仅有两个整数解，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得m=1，进而由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；（2）由题意可得f（x）x2+mxm即为m（xexx+1）ex，讨论x的符号，确定xexx+10，即有m，令g（x）=，求出导数，再令令h（x）=2xex，求得导数，判断单调性和极值点，求得g（x）的单调区间，可得极值，结合条件可得不等式组，解不等式可得m的范围【解答】解：（1）函数f（x）=（mx1）exx2的导数为：f（x）=（m+mx1）
28、ex2x=mex（1+x）ex2x，可得y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为f（1）=2mee2=e2，解得m=1，即有f（x）=（x1）exx2的导数为f（x）=x（ex2），由f（x）0可得xln2或x0；由f（x）0可得0xln2可得f（x）的单调增区间（，0），（ln2，+）；单调减区间为（0，ln2）；（2）关于x的不等式f（x）x2+mxm即为m（xexx+1）ex，对于xexx+1=x（ex1）+1，当x0时，ex10，x（ex1）+10当x0时，ex10，x（ex1）+10即为m，令g（x）=，g（x）=，令h（x）=2xex，h（x）=1ex0，又h（0）=10，h（1）=1e0，h（x）在R上递增，可得x0（0，1），使得h（x0）=0，则g（x）在（，x0）递增，在（x0，+）递减，g（x）在x0处取得极大值，又g（0）=g（1）=1，则关于x的不等式f（x）x2+mxm有且仅有两个整数解，只需m有且仅有两个整数解，则，解得m12017年4月9日
