1、四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.第I卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）【题文】1.集合，,则=( )A.-2,1,2 B.0,2 C.-2，2 D.-2，2【知识点】交集及其运算A1 【答案解析】C
2、解析：因为集合M=2，0，1，2，N=x|2x1|1=x|x0或x1，则MN=2，2故选C【思路点拨】求出集合N，然后求解【题文】2.已知=(2,1), ,且 ，则的值为（ ）A.2 B.1 C.3 D.6【知识点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算F2 【答案解析】D 解析：平面向量=（2，1），=（x，3），又向量 ，x23=0解得x=6，故选：D【思路点拨】根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为0”的原则，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可得到答案【题文】3.在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）A.或3B.3 C.1或27 D.27【知识点】等比数列的通项公式；等差数
3、列的性质D2 D3 【答案解析】D 解析：各项均为正数的等比数列an中，公比为q，成等差数列，a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=1或3，正数的等比数列q=1舍去，故q=3，=27，故选D。【思路点拨】已知各项均为正数的等比数列an，设出首项为a1，公比为q，根据成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算。【题文】4.下列说法错误的是 （ ）A若，则 ；B“”是“”的充分不必要条件；C命题“若，则”的否命题是：“若，则”；D若，则“”为假命题.【知识点】特称命题；命题的否定A2 【答案解析】B 解析：对于A，命题p：xR，x2x+1=0，则p：xR，x2x
4、+10，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确对于B，“sin=”则不一定是30，而“=30”则sin=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a0，则ab0”判断正确对于D，p：xR，cosx=1，q：xR，x2x+10，则“pq”一假就假，所以为假命题，D正确错误命题是B故选B【思路点拨】利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误。【题文】5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位 【知识点】函数y
5、=Asin（x+）的图象变换C4 【答案解析】A 解析：，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象故选A【思路点拨】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案【题文】6.设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有（是自然对数的底数），则的值等于( )A. 1 B C3 D【知识点】函数单调性的性质B3 【答案解析】C 解析：设t=f（x）ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，函数f（x）为单调递增函数，函数为一对一函数，解得t=1，f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=
6、2+1=3，故选：C【思路点拨】利用换元法 将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论【题文】7.若实数满足约束条件,则函数的最小值是( )A.0 B.4 C. D.【知识点】简单线性规划的应用；简单线性规划E5 【答案解析】A 解析：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B（0，），由，可得C（0，5）A、BC坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|0，当x=0，y=1时，z取得最小值0z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN时x+y+1=0z都取得最小值0故选A【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何
7、意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可【题文】8.已知函数若互不相等,且,则的取值范围是( ).A.(1,2014) B.(1,2015) C.2,2015 D.(2,2015)【知识点】分段函数的应用B10 【答案解析】D 解析：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设abc，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由abc可得1c2014，因此可得2a+b+c2015，即a+b+c（2
8、，2015）故选：D【思路点拨】根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围【题文】9.已知定义为的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负【知识点】抽象函数及其应用B10 【答案解析】A 解析：定义域为R的函数f（x）满足f（x）=f（x+4），将x换为x，有f（4x）=f（x），x12x2，且x1+x24，4x1x22，函数f（x）在区间（2，+）上单调递增，f（4x1）f（x2），f（4x）=f（x），f（4x1）=f（x1），即f（x1）f（
9、x2），f（x1）+f（x2）0，故选：A【思路点拨】首先根据条件f（x）=f（x+4）转化为f（4x）=f（x），再根据函数f（x）在区间（2，+）上单调递增，将x1转换为4x1，从而4x1，x2都在（2，+）的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断f（x1）+f（x2）的值的符号【题文】10.设函数的导函数为，对任意都有成立，则（ ）A. B. C. D. 与的大小不确定【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算B11 【答案解析】B 解析：令g（x）=，则=，因为对任意xR都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又ln2ln3，所以g（l
10、n2）g（ln3），即，所以，即3f（ln2）2f（ln3），故选B【思路点拨】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)【题文】11.幂函数过点，则= .【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域B8 【答案解析】2 解析：幂函数y=（m23m+3）xm过点（2，4），解得m=2故答案为：2【思路点拨】由题意得，由此能求出m=2【题文】12. 计算 的结果为 .【知识点】对数的运算性质B7 【答案解析】-1 解析：log36log32+43=log3+24=1+
11、24=1故答案为：1【思路点拨】直接利用对数的运算法则以及指数的运算法则求法即可【题文】13已知菱形的边长为，点分别在边上，. 若，则的值为 .【知识点】平面向量数量积的运算F3 【答案解析】2 解析：BC=3BE，DC=DF，=，=，=+=+=+，=+=+=+，菱形ABCD的边长为2，BAD=120，|=|=2，=22cos120=2，=1，（+）（+）=+（1+）=1，即4+42（1+）=1，整理得，解得=2，故答案为：2【思路点拨】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论【题文】14.已知，则的最大值为 .【知识点】基本不等式在最值问题中的应用E6 【答案解析】 解
12、析：由题意得，x，yR+，x2+=1，则设x=cos0，y=sin0，所以x=，当且仅当2cos2=1+2sin2时取等号，此时sin=，所以x的最大值为：，故答案为：【思路点拨】根据椭圆的方程可设 x=cos、y=2sin，代入式子x化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值【题文】15.已知是函数图象上的两个不同点，且在两点处的切线互相平行，则的取值范围为.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11 【答案解析】（-1,0） 解析：由题意，f（x）=x3|x|=， 当x0时，f（x）=3x21， 当x0时，f（x）=3x2+1， 因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1x2， 所
13、以x10，x20 （否则根据导数相等得出A、B两点重合）， 所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f（x1）=31， 在点B（x2，y2）处切线的斜率为f（x2）=3+1 所以31=3+1， 即，（x1x2，x20） 表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率， 由图可知取值范围是（1，0），故答案为：（1，0）【思路点拨】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后
14、利用式子的几何意义求解三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分）【题文】16. （本小题满分12分）已知函数.(1)求的值域和最小正周期；(2)若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围.【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法C5 C3 【答案解析】(1) 值域为2，2，最小正周期为；(2) 解析：(1)f(x)2sincos2cos2sinsincos2sin.1sin1.22sin2，T，即f(x)的值域为2，2，最小正周期为.(2)当x时，2x，故sin，此时f(x)2sin，2.由mf(x)20知，m0，f(x)，即2，即解得m1.即实数m的取值范围是.
15、【思路点拨】（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；（2）若对任意x0，使得mf（x）+2=0恒成立，f（x）+=，进而可得实数m的取值范围【题文】17.（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列的首项为1，且构成等比数列（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求 的前项和【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和D4 D5 【答案解析】（）2n-1；（） 解析：（I）设等差数列的公差为d,(d),则构成等比数列，即解得d=0（舍去）或d=2, 1+2(n-1)=2n-1 .3
16、分（II）由已知（）当n=1时， =；当时， （）=，=，（）由（I），2n-1（），（）7分两式相减得，=， .12分【思路点拨】（）设等差数列an的公差为d（d0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；（）由条件可知，n2时，=1（1）=，再由（）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn。【题文】18. （本小题满分12分）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（I）求和的值；（II）若 ,( )，求的值.【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换；运用诱导公式化简求值C4C2 【答案解析】（）=
17、2，=（） 解析：（I）由题意可得函数f（x）的最小正周期为，=，=2再根据图象关于直线x=对称，可得 2+=k+，kz结合可得 =.5分（II）f（）=（），sin（）=，sin（）=再根据 0，cos（）=，cos（+）=sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=+=12分【思路点拨】（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为 求得=2再根据图象关于直线x=对称，结合可得 的值（）由条件求得sin（）=再根据的范围求得cos（）的值，再根据cos（+）=sin=sin（）+，利用两角和的正弦公式计算求得结果【题文】19. （本小题满分12分）已知二次函数其图象关于对称，数列的
18、前项和为,点均在图象上.（）求数列的通项公式，并求的最小值；（）数列, , 的前项和为,求证：.【知识点】数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和D4 D5 【答案解析】（）=2n+1（），3；（）见解析解析：（1）, .1分点均在y=f(x)图象上，.2分（）-得，即=2n+1 （）.4分，又 5分 =2n+1（）由=（n+1）21，该函数在1，+）上为增函数，又nN*，当n=1时，（Sn）min=3； 6分（2） .7分= 9分即证即证，所以右边成立.10分， 又随n的增大而增大，左边成立.11分所以，原不等式成立 . .12分【思路点拨】（）由f（1）=3，二次函数f（x）=Ax2
19、+Bx的对称轴为x=1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，Sn）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由an=SnSn1求得数列的通项公式由函数的单调性求得Sn的最小值；（）利用裂项相消法求出数列bn的前n项和为Tn，然后利用放缩法证得数列不等式【题文】20（本小题满分13分）设函数（）（）当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性；（）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件B11 B12 【答案解析】（）；（）见解析；（）解析：（）函数的定义域为，当时， 令，当时，；当时，单
20、调递减，在单调递增，无极大值 ； 4分（）5分时，,在单减，单增；时，在单增，在单减，单增；当即时，上是减函数；当，即时，令，得,令，得 9分（）由（）知，当时，上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值， ，而经整理得 13分【思路点拨】（）确定函数的定义域为（0，+），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；（）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f（x）0，确定函数单调减区间；f（x）0，确定函数的单调增区间；（）确定f（x）在1，2上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围【题文】21.（本小题满分14分）已知.（）
21、若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最大值；（）若函数有两个不同的零点，求证.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程B12 【答案解析】（）y=-1；（）= （）见解析 解析：（1）因为点P（1，-1）在曲线上，所以f(1)=-1,得m=1，=0，故切线方程为y=-1. 3分（2） =当m0时，； ，0, 单增，=f(e)=1-me； 当，即时，0, 单增，=f(e)=1-me； 当时，即时，在单增，在单减， =当即时，单减，= f(1)=-m在1，e上的最大值= 8分(3)不妨设，要证，即证，即证，10分，即证，即证，即证，12分令=t,则，即证，则，函数在单增，=0，原不等式成立. 14分【思路点拨】（）求出斜率，代入切线方程即可；（）需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（）将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
