1、数列一、数列的概念1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每个数都叫这个数列的项。数列的一般形式：，或简记为。其中是数列的第项(又称首项)，是数列的第项(又称通项)。2、通项公式的定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。说明：表示数列，表示数列中的第项，表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，()；不是每个数列都有通项公式。例如：、。3、数列的特性：(对比集合的特性)数列是特殊的数集、点集。(1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。(2)
2、可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列。(3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数。即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从开始依次增大。可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。4、数列的分类：(1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列；例如数列，。是有穷数列。无
3、穷数列：项数无限的数列；例如数列，是无穷数列。(2)根据数列项的大小分：递增数列：从第项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：从第项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。(3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列；无界数列。二、数列的表示方法1、列表法(又称列举法)。2、图像法：图像过一四象限或轴正半轴，横坐标为正整数。是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性。3、解析法：用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示
4、数列。三、根据数列的前项写出这个数列的通项公式1、编号：把序号、标在相应项上，便于突出第项与项数的关系，即如何用表示。2、变形：(1)出现正负间隔用或进行调整。(2)出现分数首先考虑分子、分母是否存在规律，然后考虑通分成同分母分数。(3)找不到规律可以考虑后再观察。(4)当一个数列间隔几项才具有相同规律(特别是奇数项与偶数项)时，不妨用分段函数来表示其通项公式。3、常见数列：如等差、等比数列及常见的特殊数列的通项公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)四、根据图像写出这个数列的通项公式1、如果给出图像，求通项公式，一般不要把图像转换为数字，而是要通过图像的变化规律来
5、推出数列的通项公式。2、如果给出图像变化的规律，求某一点的变化规律，可寻找一定的规律或周期，从而简化试题，然后推出所求的某一点。五、根据周期性求数列的某一项1、周期数列的定义及主要性质：对于数列，如果存在一个常数()，恒有成立，则称数列是最小正周期为的周期数列。周期数列满足以下性质：(1)如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期。(2)若数列满足()，则数列是周期数列且。(3)已知数列满足(、且为常数)，分别为的前项的和，若(，)，则，。例：数列的周期为(即)，则。(4)若数列满足(为常数)或数列满足(为常数)，则数列是周期数列。例：数列满足或，则数列是周期数列且。数列满足或，则数列是周
6、期数列且。(5)若数列满足，则数列是周期数列且。例：数列满足，则数列是周期数列且。2、周期数列的表示方式：周期数列的通项公式通常都可以用分段的方式表示出来，一般只需要求出它的一个最小正周期即可。3、对于求数字比较大的某一项或分段表示的数列一般考虑周期性。六、数列单调性的判定及其应用1、根据定义判定：，或，单调增数列，或，单调减数列常数列2、根据函数性质判定：(1)为一次函数形式：时为递增数列；时为递减数列。(2)为二次函数形式：只有对称轴才时有增减性：时为递增数列；时为递减数列。(3)为反比例函数形式：时为递减数列；时为递增数列。(4)为指数函数形式：只有且时才有增减性：时为递增数列；时为递减
7、数列。3、分段数列单调性的判定：分段数列的单调性可根据各段内单调性进行判断，但要注意如果整体具有单调性则需注意临界点应符合要求。4、数列中的项的最值的求法：根据数列与函数之间的对应关系，构造相应函数，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值。5、前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值。七、等差数列的定义1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“”表示)。 (1)公差一
8、定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；(2)对于数列，若(与无关的数或字母)，则此数列是等差数列，为公差。2、等差数列的通项公式：或。 有几种方法可以计算公差：；。3、等差中项：数列、成等差数列的充要条件是，其中叫做、的等差中项。即有、成等差数列恒成立。4、若数列的通项公式为(、为常数)，则这个数列一定是等差数列。有：(1)若，则是公差为的等差数列，即为常数列、。(2)若，则是关于的一次式，从图像上看，表示数列的各点均在一次函数的图像上，一次项的系数是公差，直线在轴上的截距为。(3)数列为等差数列的充要条件是其通项(、为常数)，又称第通项公式。(4)判断数列是否是等差数列的方法是否满足
9、个通项公式中的一个。八、证明为等差数列的方法：1、定义法：(为常数，)为等差数列； 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义。2、中项法：为等差数列；3、通项法：为的一次函数为等差数列；4、前项和法：或。九、等差数列的性质1、在等差数列中，若，则()。注意：但通常由推不出，因为有常数列的存在。2、在等差数列中，、仍为等差数列，公差为。3、若为等差数列，则、仍为等差数列，公差为。4、等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值。时为递减数列，且当时前项和有最大值。5、等差数列的首项是，公差为。若其前项之和可以写成，则，当时它表示二次函数
10、，数列的前项和是成等差数列的充要条件。十、等差数列前项和1、等差数列的前项和公式1：。证明：，+：，又，由此得。用此述公式要求必须具备三个条件：、。 因此，只要题中出现以下三种情况，一般就是应用此公式。(1)出现或可求通项公式；(2)出现两项或多项可求中项；(3)出现比值或求比值。2、等差数列的前项和公式2：。证明：把代入公式1即得。用此述公式要求必须具备三个条件：，。因此一般有公差的公式才应用此公式。3、奇数项及偶数项等差数列的前项和(1)若项数为奇数时：；若项数为，则，；(2)若项数为偶数时：(即这个数列的中间项的值)；若项数为，则，。4、公差为的等差数列的前项和为，则数列必是首项为，公差
11、为的等差数列。5、等差数列中，。十一、对等差数列前项和的最值问题有三种方法：1、利用：当，前项和有最大值，可由且，求得的值；当，前项和有最小值，可由且，求得的值。注意：求的最值时，当时取两个值。2、利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值。3、利用函数的单调性十二、与前项和有关的三类问题数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。1、知三求二：已知、中任意三个，可求得其余两个，一般用方程解。2、。3、利用二次函数的图像确定的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值。应取为正整数时的数值。十三、设元与解
12、题的技巧1、已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为、；2、若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为、，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元。八、两个等差数列关系1、若两个等差数列、相加组成一个新数列，则必为等差数列，公差为数列、的公差之和。2、若两个等差数列、的前项和分别为和，则。十四、等差数列的定义1、等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，)。(1)从第二项起与前一项之比为常数：成等比数列(，)。(
13、2)隐含：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件。(3)时，为常数列。(4)由，并不能立即断言为等比数列，还要验证。2、等比数列的通项公式：()或()；3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。4、等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式()，它的图像是分布在曲线()上的一些孤立的点。当，时，等比数列是递增数列； 当，时，等比数列是递增数列；当，时，等比数列是递减数列； 当，时，等比数列是递减数列；当时，等比数列是摆动数列； 当时，等比数列是常数列。十五、等比数列的判定与证明方法1、定义法：若(，)或(，)，则是等比数列。2、等比中项法：若数列中，且()，则是等比数列。3、通项公
14、式法：若数列通项公式可写成(，)，则是等比数列。十六、等比数列的性质1、等比中项：如果在与中间插入一个数，使、成等比数列，那么称这个数为与的等比中项。即(、同号)。如果在与中间插入一个数，使、成等比数列，则；反之，若，则，即、成等比数列，、成等比数列b()。2、等比中项的性质：()；()；若，则。注意：但通常由推不出，因为有非零常数列的存在。证明：由定义得：，又，则。3、数列首项是，公比为，数列首项为，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列，同理数列是首项为，公比为的等比数列。4、在公比为的等比数列中，数列、仍是等比数列。5、公比为；数列、仍是等比数列(此时)。十七、等比数列的前项和公式：1、当时，或；当时，。当已知，时用公式；当已知，时用公式。推导方法一：设等比数列、，它的前项和是，由得，；当时，当时，；推导方法二：由等比数列定义得，根据等比性质，有，即 (结论同上)。推导方法三： (结论同上)。2、等比数列的前项和是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用。在运用等比数列的前项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误。等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量、，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解。
