1、2016年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，3，集合B=3，4，则（UA）B=（）A4B2，3，4C3，4，5D2，3，4，52已知为实数，则实数t的值为（）A1B1CD3如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A84B35C26D104下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C命题“存在x
2、R，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”D命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”的逆否命题为真命题5高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）ABCD6已知点及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）AB1C2D37已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A5B1C0D18分别在区间0，和0，1内任取两个实数x，y，则不等式ysinx恒成立的概率为（）ABCD9已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）
3、A3BCD10奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A2B1C1D2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11已知，则cos（302）的值为12随机抽取100名年龄在10，20），20，30），50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在50，60）年龄段抽取的人数为13设二项式（x）6（a0）的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B=44，则a=14已知平面向量，满足|=1，且与的夹角为120，
4、则的模的取值范围为15若函数f（x）=2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4， =12，求c17一个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）（I）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率；（）记为取到的球中红球的个数，求的分布列和数学期望18
5、已知等比数列an的公比q1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列bn满足：a1b1+a2b2+anbn=（n1）3n+1，nN（I）求数列an和bn的通项公式；（）若manbn8恒成立，求实数m的最小值19如图，在三棱锥PABC中，AB平面PAC，APC=90，AB=1，AC=，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB（1）证明：平面PCE平面PAB；（2）证明：MN平面PAC；（3）若PAC=60，求二面角PCEA的大小20如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为，且椭圆过点（）求椭圆的方程；（）若P是椭圆上除顶点
6、外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnx（）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x21在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（）证明：；（）若不等式mf（x）a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围2016年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，3，集合B=
7、3，4，则（UA）B=（）A4B2，3，4C3，4，5D2，3，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，3，UA=4，5，B=3，4，则（UA）B=3，4，5故选：C2已知为实数，则实数t的值为（）A1B1CD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值【解答】解：z1=2t+i，z2=12i，=，又为实数，4t+1=0，即t=故选：D3如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A84B35C26D10【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知
8、：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B4下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C命题“存在xR，使得x2+x+10
9、”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”D命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点
10、”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B5高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，原直三棱柱的体积为24=8由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四
11、棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，四棱锥的体积为=4该几何体体积与原三棱柱的体积比为故选C6已知点及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）AB1C2D3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，1）设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d1+|PQ|=|PF|+|PQ|1|FQ|1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，1）设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d1+
12、|PQ|=|PF|+|PQ|1|FQ|1=31=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2故选：C7已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A5B1C0D1【考点】简单线性规划【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y5，所以y=2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，的=（2，1）（x2，y1）=2x+y5；y=2x+5+z；5+z表示直线y=2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点（2，
13、2）带人直线y=2x+5+z即得z=1故选：D8分别在区间0，和0，1内任取两个实数x，y，则不等式ysinx恒成立的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】解：由题意知0x，0y1，作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S=1=，阴影部分的面积S=sinxdx=cosx=cos+cos=2，则不等式ysinx恒成立的概率P=，故选：B9已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A3BCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数
14、倍，由此求出的表达式，判断出它的最小值【解答】解：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，=n，nz，=3n，nz，又0，故其最小值是3故选：A10奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A2B1C1D2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论【解答】解：f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，设g（x）=f（x+1），则g（x）=g（x），即f（x+1）=f（x+1），f（x）是奇函数，f（x+1）=f（x+1）=f（x1），即f（x+2）=f（x），f（x
15、+4）=f（x+2+2）=f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11已知，则cos（302）的值为【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数【分析】利用诱导公式求得sin（15）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（302）=12sin2（15），运算求得结果【解答】解：已知，sin（15）=，则cos（302）=12sin2（15）=，故答案为12随机抽取100名年龄在10，20），20，30），50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由
16、此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在50，60）年龄段抽取的人数为2【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是10.02010+0.02510=0.55，不小于30岁的人的频数是1000.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在50，60）年龄段抽取的人数为22=22=2故答案为：213设二项式（x）6（a0）的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B=44，则a
17、=【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于02，求出r的值，即可求得x2的系数为A的值；再令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项B，再根据B=44，求得a的值【解答】解：二项式（x）6（a0）的展开式中的通项公式为Tr+1=（a）rx62r，令62r=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为A=15a2令62r=0，求得r=3，可得展开式中常数项为20a3=44，求得a=，故答案为：14已知平面向量，满足|=1，且与的夹角为120，则的模的取值范围为（0，【考点】平面向量数量积的运算【分析】设=， =，得到ABC=60由正弦定理得：|=sinC，从而求
18、出其范围即可【解答】解：设=， =如图所示：则由=，又与的夹角为120ABC=60又由|=|=1由正弦定理=得：|=sinC，|（0，故答案为：（0，15若函数f（x）=2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t【考点】函数零点的判定定理【分析】求解导数f（x）=6x2+4tx，分类讨论得出极值点，根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数【解答】解：函数f（x）=2x3+2tx2+1，f（x）=6x2+4tx=0，x=0，x=（1）当t=0时，f（x=2x3+1单调递减，f（0）=10，f（2）=150存在唯一的零点，是正数（2）当t0时，f（x）=6x2+4tx0，即0f
19、（x）=6x2+4tx00，即x0，xf（x）在（，0），（，+）单调递减在（0，）单调递增极大值f（）f（1），极小值f（0）=10，存在唯一的零点，（3）当t0时，f（x）=6x2+4tx0，即x0f（x）=6x2+4tx00，即x，x0f（x）在（，），（0，+）单调递减在（，0）单调递增极小值f（）f（1），极大值f（0）=10，只需极小值f（）0即可，+10，且t0t0，综上：t0，或t0故答案为：t三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，a
20、，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4， =12，求c【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据， =12解出a，使用余弦定理解出c【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosxsinx）+1=sin2x+1=sin（2x+）+令2x+，解得x函数f（x）的单调递减区间是，kZ（2）f（C）=sin（2C+）+=，sin（2C+）=1，C=abcosA=2a=12，a=2由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=12+1624=4c=217一
21、个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）（I）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率；（）记为取到的球中红球的个数，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（I）从7个球中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，然后求出取出的3个球中，含有编号为2的球的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（） 设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A
22、，则从盒子中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，其中含有2号球的基本事件个数m=C21C52+C22C51=25，取出的3个球中，含有编号为2的球的概率=（）所有可能取值为0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，所以随机变量的分布列是0123P随机变量的数学期望E=1+2+3=18已知等比数列an的公比q1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列bn满足：a1b1+a2b2+anbn=（n1）3n+1，nN（I）求数列an和bn的通项公式；（）若manbn8恒成立，求实数m的最小值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）数列an是首项
23、为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得an=3n1，再将n换为n1，两式相减可得bn=2n1；（2）若manbn8恒成立，即为m的最大值，由cn=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值【解答】解：（I）数列an是首项为1，公比为q的等比数列，an=qn1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有an=3n1，a1b1+a2b2+a3b3+anbn=b1+3b2+32b3+3n1bn=（n1）3n+1，b1+3b2+32b3+3n2bn1=（n11）3n1+1
24、（n2），两式相减得：3n1bn=（n1）3n（n2）3n1=（2n1）3n1，bn=2n1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，数列bn的通项公式是bn=2n1；（2）若manbn8恒成立，即为m的最大值，由cn=，n2时，cn1=，cncn1=，可得n=2，3，6时，cncn1；n=7，时，cncn1即有n=5或6时，cn取得最大值，且为，即为m，可得m的最小值为19如图，在三棱锥PABC中，AB平面PAC，APC=90，AB=1，AC=，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB（1）证明：平面PCE平面PAB；（2）证明：MN平面PAC；（3）若PAC=60
25、，求二面角PCEA的大小【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面PCE平面PAB（2）根据面面平行的性质定理证明平面MNF平面PAC，即可证明MN平面PAC；（3）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】证明：（1）APC=90，PCAP，AB平面PAC，PC平面PAC，ABPC，APAB=A，PC平面PAB，PC平面PCE，平面PCE平面PAB；（2）取AE的中点F，连接FN，FM，M是CE的中点，MF是AEC的中位线，则MFAC，AB=2AE=4AF4PN=PB，PB：PN=AB：AF，则FNAP，APP
26、C=C，平面MNF平面PAC；MN面MNF；MN平面PAC，（3）过P作POAC于O，则PO平面ABC，过O作AB的平行线交BC于H，以O坐标原点建立空间坐标系如图：若PAC=60，APC=90，AB=1，AC=，E是AB的中点，M是CE的中点，AP=，OA=AP=，OC=ACOA=OP=APsin60=，AE=，则A（，0，0），E（，0），C（，0，0），P（0，0，），则平面AEC的一个法向量为=（0，0，1），设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），则=（，0），=（，0，），则，即，即，令x=1，则z=，y=2，即=（1，2，），则|=2，则cos，=，即，=120，二面角PCE
27、A是锐二面角，二面角PCEA的大小为6020如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为，且椭圆过点（）求椭圆的方程；（）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）推导出直线CF的方程为bx+cybc=0，由原点O到CF的距离为，椭圆过点，求出a，b，由此能求出椭圆方程（）求出直线BC的方程为y=，直线AP的方程为：y=k（x4），代入椭圆方程，得（
28、4k2+1）x232k2x+64k216=0，求出直线CP的方程为y=，从而得到E（，0），将直线BC与直线AP联立，得D（，），由此能求出【解答】解：（）由题意，得C（0，b），直线CF的方程为y=+b，即bx+cybc=0，又原点O到CF的距离为，=，由b2+c2=a2整理，得a=2b，又椭圆过点， =1，解得a2=16，b2=4，椭圆方程为（）由（）知B（4，0），C（0，2），故直线BC的方程为y=，直线AP的斜率为k，点A（4，0），直线AP的方程为：y=k（x4），联立，得（4k2+1）x232k2x+64k216=0，又点P（xP，yp）在椭圆上，故有：4xP=，xP=，P（，）
29、，故直线CP的方程为y=x+2，即y=，又点E为直线CP与x轴交点，令y=0得x=，E（，0），将直线BC与直线AP联立，得：，解得，D（，），故直线DE的斜率为：=，=221已知函数f（x）=lnx（）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x21在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（）证明：；（）若不等式mf（x）a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论（）构造函数h（x）=f（x）x和G（x）=，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可（）利用参数分离法，
30、转化为以m为变量的函数关系进行求解即可【解答】解：（）g（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F（x）=tf（x）=，F（x）=tf（x）与函数g（x）=x21在点x=1处有共同的切线l，k=F（1）=g（1），即t=2，（）令h（x）=f（x）x，则h（x）=1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，h（x）的最大值为h（1）=1，|h（x）|的最大值是1，设G（x）=+，G（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+）上是减函数，故G（x）max=+1，；（）不等式mf（x）a+x对所有的都成立，则amlnxx对所有的都成立，令H（x）=mlnxx，是关于m的一次函数，x1，e2，lnx0，2，当m=0时，H（m）取得最小值x，即ax，当x1，e2时，恒成立，故ae22016年4月12日
