1、吉林省长春市榆树一中2019-2020学年高一数学上学期尖子生考试试题 文（含解析）一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解出集合，再由并集的定义写出即可【详解】由，则故选D【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件属于基础题2.与函数的图象相同的函数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的性质可化简函数，分析选项的定义域及解析式即可求解.【详解】因为，所以A,B选项定义域为，排除，对于C选项，化简可得，定义域不同，排除，对于D选项，定义域及解析式相同，故选：
2、D【点睛】本题主要考查了函数的定义域及函数的解析式，属于中档题.3.，则=A. 2B. 1C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】将原式的分子分母同时除以，化为关于的三角式求解【详解】将原式分子分母同时除以，得到：；故答案选A【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查学生转化计算能力，属于基础题4.是定义在上的减函数，则的范围是( )A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到的范围.【详解】解：要使得在上是单调减函数需满足，解得故选:B.【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.5.函数的最小正周期为（ ）A.
3、 B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，故选C【名师点睛】函数的性质：(1).(2)最小正周期(3)由求对称轴.(4)由求增区间;由求减区间.6.函数 为增函数的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可【详解】,求的递增区间，等价于求的递减区间，由 得 得当k0时，即函数的递减区间为，则函数的单调递增区间为.故选C【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键根据y=sint和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.7.（
4、 ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】因，选D8.设D为ABC所在平面内一点，则（）A. 2+3B. 32C. 3+4D. 43【答案】A【解析】【分析】根据，即可得出，进行向量的数乘运算即可得出结果.【详解】， ，故选A.【点睛】本题主要考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，属于简单题. 向量的运算有两种方法：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.9.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先排除时x的值，再利用夹角为锐角的平面向量
5、的数量积为正数即可求得结果.【详解】若，则，解得.因为与的夹角为锐角，.又，由与的夹角为锐角，即，解得.又，所以.所以本题答案为B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型，注意排除向量平行的可能，属基础题.10.如果向量如果向量共线且方向相反，则()A. B. C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的条件可得，根据方向相反选择的取值即可.【详解】因为向量共线，所以，解得或，因为向量方向相反，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，方向相反的向量，属于中档题.11.已知，则的大小关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用利用等中间值区分各个
6、数值的大小【详解】；故故选A【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待12.已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为()A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.【详解】作出函数的图象如图,函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标满足，则，,可得,由，得，则，可得，即，故选C.【点睛】函数性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性
7、以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.设是第三象限角，则_【答案】【解析】【分析】由是第三象限的角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可【详解】解：，又为第三象限角，故答案为【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键14.已知函数则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.【详解】结合函数的解析式分类讨论：当时，解得：，此时，当时，解得，此时，综上可得，不等式的解集为.【点睛】本题主要
8、考查分段函数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.函数（）的最大值是_【答案】1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得，由，可得，当时，函数取得最大值116.给出下列命题：函数是奇函数；将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像；若是第一象限角且，则；是函数图像的一条对称轴；函数的图像关于点中心对称其中，正确的命题序号是_【答案】【解析】分析：利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图像特征，还有正切函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得到正确的结果.详解：函数是奇函数，故正确；若将函数的图像向左平移个单位长度，其图像对应的函数解析式
9、为 ，而不是，故错误；令，则有，此时，故错误；把代入函数，得，为函数的最小值，故是函数的图像的一条对称轴，故正确；因为函数的图像的对称中心在函数图像上，而点不在图像上，所以不正确；故正确的命题的序号为.点睛：该题考查的是有关三角函数的图像和性质的有关问题，在求解的过程中，需要对正余弦的诱导公式、三角函数的图像和性质、以及图像的变换的有关要求都非常清楚，逐一判断，求得结果.三、解答题（本题共6个题，满分70分）17.已知，是互相垂直的两个单位向量，.（1）求和的夹角；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别运用向量的代数形式和坐标形式的数量积公式建立方程求解；（2）
10、依据题设条件及向量的数量积公式建立方程求解：解：（1）因为，是互相垂直的单位向量，所以 ， ， 设与的夹角为，故， 又 ，故 （2）由得 ，即，又 故 【解法二】设与的夹角为，则由，是互相垂直的单位向量，不妨设，分别为平面直角坐标系中轴、轴方向上的单位向量，则， ， ， ， ，故 又 ，故 （2）由与垂直得 ，即，又，故 18.如图是函数在一个周期内的图像,试确定的值。【答案】，【解析】【分析】由图象可知振幅,周期，利用周期公式求出，图象过点，代入即可求出.【详解】由图象可知，周期，所以,解得，又图象过点，所以，即,解得,由，可取.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，正弦型函数的解析
11、式，属于中档题.19.已知（1）化简（2）若是第二象限角,且,求的值.【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）根据诱导公式对进行化简即可（2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解试题解析：（1）（2）， ， 是第二象限角， 20.求函数的最大值与最小值.【答案】,即时,当,即时,.【解析】【分析】根据对数的运算，可化简函数，利用二次函数即可求出最值.【详解】.,故当,即时,当,即时,.【点睛】本题主要考查了对数的运算，二次函数求最值，属于中档题.21.函数f(x)对任意的m，都有，并且时，恒有(1)求证：f(x)在R上是增函数(2)若，解不等式【答案】（1）证明见解析（2
12、）不等式的解集为:.【解析】【分析】(1)利用=和增函数的定义证明;(2)先通过赋值法得到,再根据(1)的增函数可解得不等式的解集.【详解】(1)证明:任取,则 = =,因为,所以,因为时，恒有,所以,所以,所以,所以,根据增函数的定义可知, f(x)在R上是增函数.(2)在中,令得,即,中,令得,即,所以,又,所以 ,所以,所以等价于,因为函数在上是增函数,所以,即,所以,所以,所以不等式的解集为:.【点睛】本题考查了用定义证明增函数,利用增函数的性质解不等式,属于中档题.22.函数在它的某一个周期内的单调减区间是.（1）求的解析式；（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为1，最小值为【解析】试题分析：(1)利用三角函数的性质可求得函数的解析式为；(2)首先求得函数的解析式结合函数的定义域可得函数的最大值为1，最小值为试题解析：（1）由条件， 又 的解析式为 （2）将的图象先向右平移个单位，得 而 函数在上的最大值为1，最小值为
