1、考纲点击考情关注会证明和应用以下定理：1圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理2相交弦定理3圆内接四边形的性质定理与判定定理4切割线定理.主要考查利用相交弦定理、割线定理、圆周角定理等相关的知识解决平面上与圆有关的角、线段的计算与证明问题，多为中档题.1.圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数 推论1：同弧或等弧所对的圆周角(或圆心角)相等；同圆或等圆中相等的圆周角(或圆心角)对的弧也相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角对的弦是直径 3圆内接四边形性质定理 对角互补外角等于它的内对角 判定定理：如果一个四边
2、形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆 推论：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆 4圆的切线(1)切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧对的圆周角 5与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到
3、割线与圆的交点的两条线段长的比例中项(4)切线定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点连线平分两切线夹角 1.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB45，则圆O的面积等于_ 2已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R_.3如图，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3.过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则CD_.4已知ABC 中，ABAC，D 是ABC 外接圆劣弧 AC上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD 至 E.(1)求证：AD 的延长线平分CDE；(2)若BAC30，ABC 中
4、BC 边上的高为 2 3，求ABC 外接圆的面积 基础自测答案 1答案：8 解析：连结OA，OB，BCA45，AOB90.设圆O的半径为R，在RtAOB中，R2R2AB216，R28.圆O的面积为8.2答案：3解析：如图，依题意，AOPA，ABPC，PA2，PB1，P60，在 RtCAP 中，有 2OA2R2tan602 3.R 3.3答案：3 32解析：AB 为直径ABC 为直角三角形sinCABBCAB12CAB6又ACDABC3ADl在 RtACD 中 CD12ACAC 62323 3CDAC2 3 32DAC6 4解：(1)证明：如图，设F为AD延长线上一点 A，B，C，D四点共圆，C
5、DFABC.又ABAC，ABCACB，且ADBACB.ADBCDF.对顶角EDFADB，故EDFCDF，即AD的延长线平分CDE.(2)设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H，则 AHBC.连接 OC.由题意OACOCA15，ACB75.OCH60.设圆半径为 r，则 r 32 r2 3，得 r2，外接圆面积为 4.题型一 圆周角、弦切角和圆的切线问题 例1 如图所示，O的直径为6，AB为O的直径，C为圆周上一点BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E，求DAC及线段AE的长度 思路分析 利用ACDACBBCF180，求DAC；利用RtABERt
6、BAC，求AE.听课记录 由已知ABC是直角三角形，易知CAB30，由于直线l与O相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，知DCA60，故在 RtADC 中，DAC30.则EAB60CBA，连结 BE，如图所示，则 RtABERtBAC，所以 AEBC3.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角.互动训练1 已知D，C是以AB为直径的圆弧上的两点，若弧BC所对的圆周角为25，弧AD所对的圆周角为3
7、5，则弧DC所对的圆周角为_ 答案：30或80 解析：如上图所示，D，C的位置有两种可能：C，D两点在直径AB的同侧或异侧当C，D在AB同侧时，BOC50，AOD70，DOC60，则DC所对的圆周角为30；当C，D在AB异侧时，可得DOC160，则DC所对的圆周角为80.题型二 圆内接四边形问题 例2 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小 思路分析 要证A、P、O、M四点共圆，可考虑四边形APOM的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进
8、而求出OAMAPM的大小 听课记录(1)连接OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由 圆心 O 在 PAC的 内部，可知 四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.1.证明四点共圆的方法：利用定理：若一个四边形的对角互补，则四点共圆 2.圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形互动训练
9、2 如图，四边形 ABCD 内接于O，AB AD，过 A 点的切线交 CB 的延长线于 E 点求证：AB2BECD.证明：连结 AC，因为 EA 切O 于 A，所以EABACB.因为 AB AD，所以ACDACB，ABAD.于是EABACD.又四边形 ABCD 内接于O，所以ABED.所以ABECDA.于是ABCDBEDA，即 ABDABECD.所以 AB2BECD.题型三 相交弦、切割线定理的应用 例 3 如图，在半径为 4 的O 中，AB、CD 是两条直径，M 为 OB 的中点，CM 的延长线交O 于点E，且 EMMC.连接 DE，DE 15，求 EM 的长听课记录 因为 DC 是O 的直
10、径，所以 DEEC.因为 DC8，DE 15，所以 EC DC2DE2 64157.设 EMx，由于 M 为 OB 的中点，所以 BM2，AM6，AMMBx(7x)，即 62x(7x)，x27x120.解这个方程，得 x13，x24.因为 EMMC，所以 EM4.相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理 互动训练3 如图，已知O的割线PAB交O于A，B两点，割线
11、PCD经过圆心，若PA3，AB4，PO5，求O的半径解：设圆的半径为 R，由 PAPBPCPD，得 3(34)(5R)(5R)，解得 R2.例4(2010江苏卷)AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DADC，求证：AB2BC.证明 连结OD、BD.因为AB是圆O的直径，所以ADB90，AB2OB.因为DC是圆O的切线，所以CDO90.又因为DADC，所以AC，于是ADBCDO，从而ABCO，即2OBOBBC，得OBBC.故AB2BC.1.（2011 年广东高考卷，理 15）如图 4，过圆O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B,且7PB，C 是圆
12、上一点使得5BC，则AB .答案：35解析：2,7 535,35.PABAPBCABACAPBABPBBAPBCACBABABPB CBAB 是圆的切线又与相似 从而在APD 中，AD2PA2PD22PAPDcosAPD6b29b222 32 b3bcosAPD15b26 6b2cosAPD，BC2AD252b2 6b2cosAPD15b26 6b2cosAPD16.BCAD 66.2(2010北京卷)如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE_；CE_.答案：5 2 7解析：在圆 O 中，由 BDAE，ECAC.又 AB4，BC2，AD3，DB 7.又 ABACADAE，463AE，AE8.DE5.CE AE2AC2 64362 7.
