1、长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学试题卷(理科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 4. 考试结束，只需上交答题卡.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 复数（是虚数单位）的虚部为A. B. C. 1D. 23. 抛物线的准线方程为A. B. C. D. 4. 已知向量满
2、足，则夹角的余弦值为A.B.C.D. 5. 下列说法中正确的是A. “”是“函数是奇函数”的充要条件；B. 若：，则：，；C. 若为假命题，则均为假命题； D. “若，则”的否命题是“若，则”.6. 若实数满足，则的最小值为A. B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填A. B. C. D. 8. 在中，边上的中线，则的面积为A. B. C.D. 9. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 10. 已知函数，则其图像为A. B.C. D.11. 函数，给出下列结论：的最小正周期为的一条对称轴为的一个对称中心为是奇函数其中正确结论的
3、个数是A. 1B. 2C. 3D. 412. 设函数在上的导数为，且，下面的不等式在上恒成立的是A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 展开式中的常数项是_. 14. 已知随机变量服从正态分布，若，则_. 15. 已知三棱锥中，则该三棱锥的外接球表面积为_. 16. 如图，等腰梯形中，. 一双曲线经过三点，且以为焦点，则该双曲线离心率是_. 三、解答题（本大题包括6小题，共
4、70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足. 证明数列为等差数列； 求. 18. （本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：睡眠时间（小时）人数24842女生：睡眠时间（小时）人数15653男生： 从这20名男生中随机选出3人，求恰有1人睡眠时间不足7小时的概率； 完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生女生合计P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.706
5、3.8415.0246.6357.87910.828 （，其中）19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，. 过的截面交于点，若为等边三角形，求出点的位置； 在条件下，求平面与平面所成二面角的大小. 20. （本小题满分12分）设点的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积是. 求点的轨迹的方程； 为曲线上的三个动点，在第一象限，关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数. 判断函数的单调性； 若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所
6、做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.已知中，以点为圆心，以为半径的圆分别交于两点，且为该圆的直径. 求证：； 若，求的长. 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为. 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； 设点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值. 24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数. 若不等式恒成立，求的取值范围； 当时，求不等式的解集. 长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60
7、分）1. A2. C3. D4. D5. D6. B7. A 8. C9. B10. A11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质. 【试题解析】A题意可知，集合，故选A.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数虚部的概念. 【试题解析】C ，虚部为1，故选C. 3. 【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念，是对学生的基础知识的直接考查.【试题解析】D由题意，抛物线的准线为，故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.【试题解析】D ，则的夹角余弦值为. 故选D.5. 【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻
8、辑问题的理解. 【试题解析】D选项A中，由奇函数定义可知，“”是“函数是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B中，若：，则：，；选项C中，若为假命题，只能判定中至少有一个为假命题；选项D的说法正确，故选D. 6. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】B图为可行域，而目标函数可化为，即为该直线在轴上的截距，当直线过时，截距取得最大值，此时取得最小值为，故选B. 7. 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序框图也对数列中的裂项求和进行考查. 【试题解析】A由程序框图，当时，还应该进入循环，而当时，不再进入循环，故应填，故选A. 8. 【命题意图】
9、本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式. 【试题解析】C由题意，设，根据余弦定理可得，可得且，故，故选C. 9. 【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算. 【试题解析】B由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为.故选B. 10. 【命题意图】本题考查对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法. 【试题解析】A函数为奇函数，且，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A. 11. 【命题意图】本题考查三角变换公式，以及中各个量对函数图像的影响. 【试题
10、解析】B由题，可知正确，故选B. 12. 【命题意图】本题是利用导数考查抽象函数的特征问题，目的在于考核考生对导数的理解，包括函数的特征点，以及导数对函数图像的影响等. 【试题解析】A当时，可得；当时，将的两侧同时乘以可得，即，则在时单调递增，即，所以；当时，将的两侧同时乘以可得，即，则在时单调递减，即，所以，综上可得到. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题. 【试题解析】常数项为. 14. 【命题意图】本题考查正态分布的基本知识，特别是正态分布中各个量的意义. 【试题解析】由正
11、态分布的性质可知，. 15. 【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了长方体，以及长方体的局部几何体的外接球问题. 【试题解析】由条件，可将三棱锥放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为，有 ，得到，所以长方体的体对角线长为，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为，从而其表面积为. 16. 【命题意图】本题通过平面几何的性质考查双曲线的标准方程以及离心率，对学生的运算求解能力提出很高要求，是一道较难题. 【试题解析】设双曲线的标准方程为，由，得，从而满足，消去，解得，离心率为.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及
12、错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】 (1) 证明：由条件可知，即，整理得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （6分）(2) 由(1)可知，即，令 ，整理得. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 设所求事件概率为，则. （6分）(2) 睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生12820女生14620合计261440所以没有的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本
13、题通过分层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）由题意，在三棱柱中，由平面且可得，故点的位置为的三等分点，且靠近处. （4分）（2）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为，有，得，令，得，同理可得平面的一个法向量为，可得，所以平面与平面所成角为直二面角，大小为.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 设点的坐标为，由题意可知，即，因此点的轨
14、迹方程为. （5分）(2) 由题意知，设，设由，消去得，所以同理可得，所以当，即时，取最小值，此时. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1) ，当时，则在上单调递增；当时，令，得，则在上单调递减，在上单调递增. （4分） (2) 不妨先证明，即，先证，即，显然成立. 再证，只需证，设，则，即，得证. 由当时，则在上单调递增，可知，当时，又在上单调递增，当时，在上单调递减，与条件不符. 综上. （12分）22. (本小题满分10分)【
15、命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 因为，所以，又因为，所以，所以，所以. （5分）(2) 由(1)可知，从而，由，得. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为. （5分）(2) 设点坐标为，点到直线的距离所以点到直线距离的最大值为. （10分）24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于，所以，解得或. （5分）(2) ，原不等式等价于，或，或解得，原不等式解集为. （10分）版权所有：高考资源网()
