1、四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为()A. 60B. 30C. 60或120D. 30或150【答案】C【解析】【分析】由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角.【详解】直线l的斜率的绝对值等于，线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则，则或，60或120.故选：C.【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想.2.圆的半径为（ ）A. 1B. 3C. 2D. 5【答案】A【
2、解析】【分析】配方化标准方程，即可求解.【详解】圆的标准方程为，则半径为1，故选：A【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程互化，属于基础题.3.抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线的标准方程为所以准线方程为4.直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化方程为斜截式即可.【详解】直线用斜截式表示为，故选：B【点睛】本题考查直线方程的互化，属于基础题.5.在空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（ ）A. 4，B. C. 4，D. 【答案】B【解析】【分析】根据对称关系，即可求解.【详解】空间
3、直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是故选：B【点睛】本题考查空间直角坐标的对称问题，对于常考的对称关系要熟练掌握，属于基础题.6.经过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出两直线的交点，利用垂直关系设出所求直线方程，即可求解.【详解】联立可得，即交点，设与直线垂直的直线方程是，把点代入可得：，解得要求的直线方程为：故选：C【点睛】本题考查两直线的位置关系，涉及相交、垂直问题，属于基础题.7.设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
4、【分析】问题转化为圆心到直线的距离，即可求解.【详解】圆的圆心坐标为，半径，圆心C到直线的距离，圆上的点到直线距离的最小值为即从村庄外围到小路的最短距离为故选：B【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离最小值，考查数形结合思想转化为圆心到直线的距离，属于基础题.8.椭圆与具有相同的（ ）A. 长轴B. 焦点C. 离心率D. 顶点【答案】C【解析】【分析】将化为标准方程，与按选项逐项对比，即可求解.【详解】椭圆的离心率为：；标准方程，的离心率为：，所以椭圆与具有相同的离心率故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，化标准方程是关键，属于基础题.9.已知圆的圆心为C及点，则过M且使圆心C到它的距离最
5、大的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何关系，到直线l的距离的最大值为，即可求解.【详解】由题意可知，到直线l的距离，当时，为所求距离的最大值，所以所求直线的斜率，直线方程为即，故选：A【点睛】本题考查圆心与过定点的直线距离的最大值，利用点与直线距离的平面几何性质是解题的关键，属于中档题.10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.考点：本小题主要考查直线与
6、抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.11.已知分别为双曲线（a0,b0）的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点,所以代入得:,当且仅当时取等号,即,又点是双曲线左支上任意一点,所以,即，.考点：双曲线的几何定义及双曲线的性质和均值不等式.12.已知抛物线：的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内)，与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点作抛物线准线
7、的垂线，垂足为根据三角形相似可得直线的倾斜角为，从而斜率为，进而可求得，于是可求得点的纵坐标，根据点在曲线上可得其横坐标，即为所求【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，设准线与y轴交于点过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，,直线的倾斜角为，解得又由得，即，设，则，又点第一象限，即点到轴距离为故选B【点睛】本题考查抛物线定义的运用和平面几何图形的性质，解题的关键是根据平面图形的性质得到直线的倾斜角，进而得到参数，然后再根据定义进行转化后可得所求距离，属于中档题二、填空题（本大题共4小题）13.如果直线l与直线垂直，则直线l的斜率为_【答案】【解析】【分析】求出已知直线的斜率，利用两直线垂直
8、的关系，即可求解.【详解】直线l与直线垂直，且的斜率，则直线l的斜率故答案为：【点睛】本题考查两直线的位置关系，属于基础题.14.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_.【答案】【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0考点：直线与圆锥曲线的关系15.从点作圆的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_【答案】【解析】【分析】利用切线的性质，可得在以（为已知圆的圆心
9、）直径的圆上，AB就为两圆的相交弦，求出两圆的相交弦方程即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为2，以、为直径的圆的方程为，化为一般方程是；将两圆的方程相减可得公共弦AB的直线方程为故答案为：【点睛】本题考查圆的切线性质，两圆的位置关系，考查等价转化思想，属于中档题.16.设，是椭圆C：的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点若，且：3，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据已知条件设出，结合椭圆的定义，把用表示，即可求解.【详解】设，因，则，由椭圆的定义得，即，所以，则椭圆的离心率为故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质，椭圆离心率的求解，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中等题.三、解答
10、题（本大题共6小题）17.已知圆过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程【答案】【解析】【分析】圆心为的垂直平分线与直线的交点，即可求解.【详解】由已知得：AB的垂直平分线方程为：代入直线得圆心：，又半径，则圆方程为：【点睛】本题考查圆的标准方程，确定圆心位置是解题的关键，属于基础题.18.已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值【答案】（1）(，6)(6,0（2）2【解析】解：(1)因为l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a2(a2)2因为a20，所以b0又因为a213，所
11、以b6故b的取值范围是(，6)(6,0(2)因为l1l2，所以(a21)a2b0显然a0，所以aba，|ab|a|2，当且仅当a1时等号成立，因此|ab|的最小值为219.已知抛物线C的顶点在原点，且其准线为（1）求抛物线C的标准方程；（2）如果直线l的方程为：，且其与抛物线C交于A，B两点，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可求出抛物线C的标准方程；（2）设直线与y轴的交点为D，联立直线与抛物线方程，即可求解.【详解】（1）可设抛物线的方程为，准线方程为，由抛物线的准线方程为，可得，则抛物线方程为；（2）联立得，设，可得，设直线与y轴的交点为D，则，
12、又抛物线的焦点坐标为，则【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的关系，属于基础题.20.已知双曲线C：的上焦点为（1）若双曲线C是等轴双曲线，且，求双曲线的标准方程；（2）若经过原点且倾斜角为的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，以及，即可求解；（2）由已知条件求出点坐标，利用双曲线的定义求出关系，求出离心率，再由离心，进而求出渐近线方程.【详解】（1）由双曲线为等轴双曲线，则，又，则，故双曲线的标准方程为；（2）由题意得，又OA的倾斜角为，则，又，则，
13、则渐近线方程为：【点睛】本题考查等轴双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，解题中要合理应用双曲线的定义，要注意双曲线焦点的位置，属于基础题.21.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).(1)求圆弧C2的方程.(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.【答案】(1) (x-14)2+y2=225(5x29) (2) 不存在，理由见解析【解析】【详解】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(
14、5,12),N(5, -12).则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17),令y=0,得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0),又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225(5x29).(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0,由解得x=-70(舍去).由解得x=0(舍去),综上知,这样的点P不存在.【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围,其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.22.已知椭圆的两个焦点分别是，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于
15、异于的不同两点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由焦距得，又椭圆经过点，代入求解即可；（2）由题意，直线斜率不等于0，设直线的方程为，直线与椭圆联立得，点到直线的距离为，的面积 ，利用韦达定理带入得，令，则即可的最值.试题解析：(1)由题意，焦距，椭圆.又椭圆经过点，解得或(舍)，.椭圆的标准方程为.(2)由(1)，得点，由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为，联立，消去，得，化简，得，又点到直线的距离为，的面积 ，令，则，而函数在时单调递增，在时单调递减，当时即时，的面积有最大值.点睛：圆锥曲线最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围
