1、2016-2017学年四川省绵阳市东辰学校高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=1，2，3，B=x|（x+1）（x2）0，xZ，则AB=（）A1B1，2C0，1，2，3D1，0，1，2，32复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A1BiC2iD23已知向量=（1，2），=（3，1），则=（）A（2，1）B（2，1）C（2，0）D（4，3）4已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcabDcba5下列有关命题的叙述，错误的个数为（）若pq为真命题，则pq为真命题“x5”是“x24x50
2、”的充分不必要条件命题P：xR，使得x2+x10，则p：xR，使得x2+x10命题“若x23x+2=0，则x=1”的否命题为假命题A1B2C3D46已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D27若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD8设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A8B7C2D19已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D210如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额
3、（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示给出下说法：图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中正确说法的序号是（）ABCD11在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3
4、；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D312直角ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）则|最大值是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13计算：sincos=14设向量，不平行，向量+与+2平行，则实数=15设x，yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2，则+的最大值为16设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等差数列an中，a1=1，公差d0，且a2，a5，a14分别是等
5、比数列bn的第二项、第三项、第四项（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列an+bn的前n项和Sn18已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角（1）求角C的大小；（2）若a+b=2，设D为AB边上中点，求|的最小值19已知函数f（x）=Asin（x+）+b（A0，0，）的部分图象如图所示（I）求f（x）在R上的单调递增区间；（II）设x0（x0（0，）是函数y=f（x）的一个零点，求cos（2x0）的值20已知函数f（x）=（）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（）若对于任意x2，4，不等式恒成立，求正实数
6、m的取值范围21已知函数f（x）=ln（x+1）x（x1）（1）求f（x）的单调区间；（2）若kZ，且f（x1）+xk（1）对任意x1恒成立，求k的最大值；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e1x02成立？请说明理由请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半
7、径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，曲线C3：=2cos（）求C2与C3交点的直角坐标；（）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当a=2时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当x，）时，f（x）g（x），求a的取值范围2016-2017学年四川省绵阳市东辰学校高三（上）第三次月考数学试卷参
8、考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=1，2，3，B=x|（x+1）（x2）0，xZ，则AB=（）A1B1，2C0，1，2，3D1，0，1，2，3【考点】并集及其运算【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出AB的值【解答】解：集合A=1，2，3，B=x|（x+1）（x2）0，xZ=0，1，AB=0，1，2，3故选：C2复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A1BiC2iD2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数z=为12i，从而可得它
9、的虚部【解答】解：复数z=12i，故此复数的虚部为2，故选D3已知向量=（1，2），=（3，1），则=（）A（2，1）B（2，1）C（2，0）D（4，3）【考点】平面向量的坐标运算；向量的减法及其几何意义【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可【解答】解：向量=（1，2），=（3，1），=（2，1）故选：B4已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcabDcba【考点】对数的运算性质【分析】利用指数式的运算性质得到0a1，由对数的运算性质得到b0，c1，则答案可求【解答】解：0a=20=1，b=log2log21=0，c=log=log23log22=1，cab故选：C
10、5下列有关命题的叙述，错误的个数为（）若pq为真命题，则pq为真命题“x5”是“x24x50”的充分不必要条件命题P：xR，使得x2+x10，则p：xR，使得x2+x10命题“若x23x+2=0，则x=1”的否命题为假命题A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】若p，q只要有一个为为真，则pq为真命题；“x1”时，“x24x50”也成立；含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论；命题“若x23x+2=0，则x=1”的否命题是：若“若x23x+20，则x1”是真命题【解答】解对于：若p，q只要有一个为为真，则pq为真命题，故错；对于“x1”时，“x24x50”也成立，故正确；对于含
11、有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确；对于命题“若x23x+2=0，则x=1”的否命题是：若“若x23x+20，则x1”是真命题，故错，故选：B6已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D2【考点】导数的几何意义【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又x0+a=1y0=0，x0=1a=2故选项为B7若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD【考点】
12、函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出的最小值【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移的单位，所得图象是函数y=sin（2x+2），图象关于y轴对称，可得2=k+，即=，当k=1时，的最小正值是故选：C8设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A8B7C2D1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A
13、时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+22=7，故选：B9已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D2【考点】抽象函数及其应用【分析】求得函数的周期为1，再利用当1x1时，f（x）=f（x），得到f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，得到f（1）=2，即可得出结论【解答】解：当x时，f（x+）=f（x），当x时，f（x+1）=f（x），即周期为1f（6）=f（1），当1x1时，f（x）=f（x），f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x
14、31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D10如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示给出下说法：图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中正确说法的序号是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结
15、合图象进行说明【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故正确；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故正确故选B11在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为偶函
16、数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断【解答】解：由定义的运算知，f（x）=）=（ex）*=1+ex+，f（x）=1+ex+=3，当且仅当，即x=0时取等号，f（x）的最大值为3，故正确；f（x）=1+=1+=f（x），f（x）为偶函数，故正确；f（x）=，当x0时，f（x）=0，f（x）在（，0上单调递减，故错误故正确说法的个数是2，故选C12直角ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）则|最大值是（）AB
17、CD【考点】点与圆的位置关系【分析】由题意，|=|+2|+2|，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即可求出|的最大值【解答】解：由题意，|=|+2|+2|，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即|取得最大值，最大值是+1=+1，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13计算：sincos=【考点】二倍角的正弦【分析】由特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值得解【解答】解：sincos=（sincossincos）=sin（）=sin（）=故答案为：14设向量，不平行，向量+与+2平行，则实数=【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量平行即共线的条件，得到
18、向量+与+2之间的关系，利用向量相等解答【解答】解：因为向量，不平行，向量+与+2平行，所以+=（+2），所以，解得；故答案为：15设x，yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2，则+的最大值为3【考点】基本不等式；对数的运算性质【分析】利用对数的换底公式、对数的运算法则、基本不等式的性质即可得出【解答】解：a1，b1，ax=by=3，xlga=ylgb=lg3，=3，当且仅当a=b=3时取等号+的最大值为3故答案为：316设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是，1）【考点】函数恒成立问题【分析】设g（x）=ex（2x1
19、），y=axa，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=axa的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围【解答】解：函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，设g（x）=ex（2x1），y=axa，存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=axa的下方，g（x）=ex（2x+1），当x时，g（x）0，当x=时，g（x）min=g（）=2e当x=0时，g（0）=1，g（1）=e0，直线y=axa恒过（1，0），斜率为a，故ag（0）=1，且g（1）=3e1aa，解得a的取值范围是，1）故答案为：，1）三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演
20、算步骤17已知等差数列an中，a1=1，公差d0，且a2，a5，a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列an+bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等比中项可得方程（1+d）（1+13d）=（1+4d）2，计算可知公差d，进而代入可知等比数列bn的公比q=3，计算即得结论；（2）通过（1）可分别求出等差数列an、等比数列bn的前n项和，进而相加即得结论【解答】解：（1）依题意，（1+d）（1+13d）=（1+4d）2，整理得：3d（d2）=0，解得：d=2或d=0（舍），an=2n1，等比数列bn的公比q=3，a
21、2=b2=3，bn=b2qn2=33n2=3n1，故bn=3n1（2）由（1）可知，数列an的前n项和Pn=n2，数列bn的前n项和Qn=，故数列an+bn的前n项和Sn=Pn+Qn=n2+18已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角（1）求角C的大小；（2）若a+b=2，设D为AB边上中点，求|的最小值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）容易求出，进而得到sinC=sin2C，从而求得cosC=，根据C的范围即可得出；（2）先得到，而根据条件及基本不等式可得到，从而，进行数量积的
22、运算，并由完全平方公式可得到=，从而可以求出，进而即可求出的最小值【解答】解：（1）；A+B=C，0C；sin（A+B）=sinC=sin2C；sinC=2sinCcosC；，C=；（2），且；=；即的最小值为19已知函数f（x）=Asin（x+）+b（A0，0，）的部分图象如图所示（I）求f（x）在R上的单调递增区间；（II）设x0（x0（0，）是函数y=f（x）的一个零点，求cos（2x0）的值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数的零点【分析】（I）由图象可求A，即可解得b，由周期公式解得，由sin（2）=，结合范围（，），解得，由2k2x+2k+，kZ，解得f（x）
23、在R上的单调递增区间（II）由条件可得：f（x0）=sin（2x0+），即sin（2x0+）=，可证f（x）在（，）上是减函数，由x0（0，），可得范围2x0+（，），由同角三角函数关系式可求cos（2x0+）的值，从而由cos2x0=cos（2x0+）即可得解【解答】解：（I）由图象可知，A=，故b=，即T=，于是由=，解得=2sin（2）=，且（，），解得=f（x）=sin（2x+）4分由2k2x+2k+，kZ，解得kxk+，kZ，即f（x）在R上的单调递增区间为：k，k+，kZ6分（II）由条件可得：f（x0）=sin（2x0+），即sin（2x0+）=，f（）f（0）0且f（x）在（0
24、，）上是增函数，f（）=，f（）=，f（x）在（，）上是减函数，x0（0，），2x0+（，），9分cos（2x0+）=，cos2x0=cos（2x0+）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=12分20已知函数f（x）=（）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（）若对于任意x2，4，不等式恒成立，求正实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断【分析】（）求出原函数的定义域，然后利用f（x）=f（x）证明函数为奇函数；（）利用导数证明函数为减函数，把要求解的不等式转化为，分离变量m后再利用导数求得函数的最大值，则正实数m的取值范围可求【解答】解：（）f
25、 （x）在定义域上是奇函数证明：由2x10，得xR且x0，函数的定义域为（，0）（0，+），当x（，0）（0，+）时，f（x）=f（x），f （x）在定义域上是奇函数；（）由于，当x（，0）或x（0，+）时，恒成立，f（x）在（，0），（0，+）上是减函数，x2，4且m0，由及f（x）在（0，+）上是减函数，x2，4，m（x+1）（x1）（7x）在x2，4恒成立设g（x）=（x+1）（x1）（7x），x2，4，则g（x）=x3+7x2+x7，g（x）=3x2+14x+1=3+，当x2，4时，g（x）0y=g（x）在2，4上是增函数，g（x）min=g（2）=15综上知符合条件的m的取值范围是（
26、0，15）21已知函数f（x）=ln（x+1）x（x1）（1）求f（x）的单调区间；（2）若kZ，且f（x1）+xk（1）对任意x1恒成立，求k的最大值；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e1x02成立？请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（1）求导f（x）=1=，从而判断函数的单调区间；（2）化简可得xlnx+xkx+3k0，令g（x）=xlnx+xkx+3k，求导g（x）=lnx+1+1k=lnx+2k，从而讨论判断函数的单调性，从而求最大值；（3）假设存在这样的x0满足题意，从而化简可得x02+10，令h（x）=x2+1，取x0
27、=lna，从而可得hmin（x）=h（x0）=（lna）2+alna+a1，再令p（a）=（lna）2+alna+a1，从而解得【解答】解：（1）f（x）=ln（x+1）x，f（x）=1=，当x（1，0）时，f（x）0；当x（0，+）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（1，0），单调减区间为（0，+）；（2）f（x1）+xk（1），lnx（x1）+xk（1），lnx+1k（1），即xlnx+xkx+3k0，令g（x）=xlnx+xkx+3k，则g（x）=lnx+1+1k=lnx+2k，x1，lnx0，若k2，g（x）0恒成立，即g（x）在（1，+）上递增；g（1）=1+2k0，解得，k；
28、故k2，故k的最大值为2；若k2，由lnx+2k0解得xek2，故g（x）在（1，ek2）上单调递减，在（ek2，+）上单调递增；gmin（x）=g（ek2）=3kek2，令h（k）=3kek2，h（k）=3ek2，h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+）上单调递减；h（2+ln3）=3+3ln30，h（4）=12e20，h（5）=15e30；k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4（3）假设存在这样的x0满足题意，e1x02，x02+10，令h（x）=x2+1，h（x）=x（a），令h（x）=x（a）=0得ex=，故x=lna，取x0=lna，在0xx0时，h（x）0，
29、当xx0时，h（x）0；hmin（x）=h（x0）=（lna）2alna+a1，在a（0，1）时，令p（a）=（lna）2alna+a1，则p（a）=（lna）20，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）p（1）=0，即当x0=lna时符合题意请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆
30、的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知DBBE，可知DE为O的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=设DE的中点为O，连接BO，可得BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30得到CFBF进而得到RtBCF的外接圆的半径=【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=
31、BCE，BE=CE又DBBE，DE为O的直径，DCE=90DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故DG是BC的垂直平分线，BG=设DE的中点为O，连接BO，则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30CFBFRtBCF的外接圆的半径=选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，曲线C3：=2cos（）求C2与C3交点的直角坐标；（）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（）将C2与C3
32、转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解【解答】解：（）曲线C2：=2sin得2=2sin，即x2+y2=2y，C3：=2cos，则2=2cos，即x2+y2=2x，由得或，即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）；（）曲线C1的直角坐标方程为y=tanx，则极坐标方程为=（R，0），其中0a因此A得到极坐标为（2sin，），B的极坐标为（2cos，）所以|AB|=|2sin2cos|=4|sin（）|，当=时，|AB|取得最大值，最大值为4选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当a=2
33、时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当x，）时，f（x）g（x），求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（）当a=2时，不等式f（x）g（2a）f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30，利用分段函数，求不等式f（x）g（x）的解集；（）当x，）时，f（x）=1+a，不等式f（x）g（x）化为1+ax+3，所以xa2对x，）都成立，即可得出结论【解答】解：（）当a=2时，不等式f（x）g（2a）f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30，设函数y=|2x1|+|2x2|x3，则y=其图象如图所示：从图象可知，当且仅当x（0，2）时，y0，所以原不等式的解集是x|0x2；（）当x，）时，f（x）=1+a，不等式f（x）g（x）化为1+ax+3，所以xa2对x，）都成立，故a2，即a，从而a的取值范围是（1，2016年12月24日
