1、第九章 平面解析几何第四讲双曲线练好题考点自测1.2016全国卷,5分已知方程 - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3) D.(0,)2.2019全国卷,5分双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.B.C.2D.33.2020全国卷,5分设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.324.2021大同市调研测试如图9-4-1,双曲线C:
2、-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为()A. B.C. D.图9-4-15.2018天津,5分已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=16.多选题以下关于双曲线的命题说法正确的是()A.若点(2,3)在焦距为4的双曲线-=1(a0,b0)上,则此双曲线的离心率e=1B.若点F,
3、B分别是双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点在此双曲线的渐近线上C.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于D.若双曲线-=1(a0,b0)与-=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线)7.2020北京,5分已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为;C的焦点到其渐近线的距离是.8.2020全国卷,5分已知F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.拓展变式1.(1)2020广东七校第一次联考P是双曲线C:-y2=1右支上一点,直线l是双曲
4、线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为()A.1 B.2+ C.4+ D.2+1(2)2020全国卷,5分设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1 B.2 C.4 D.82.2017天津,5分已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=13.2020成都三诊已知F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点
5、,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且F1AF2,则该双曲线离心率的取值范围是()A., B.,3 C.3, D.,3答 案第四讲双曲线1.A解法一因为双曲线-=1两焦点之间的距离为4,则:当焦点在x轴上时,解得当焦点在y轴上时, 无解.综上,-1n3.故选A.解法二取n=0,满足题意,排除C,D;取n=2,满足题意,排除B.选A.解法三不考虑双曲线焦点的位置,根据双曲线的性质可得化简可得则-1n1,所以e=,故选C.5.C解法一因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,),B(c,-),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=
6、,d2=,因为d1+d2=6,所以+=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,即=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为-=1,故选C.解法二由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为-=1,故选C.6.CD对于A,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|-|=2,a=1,从而离心率e=2,所以A错误;对于B,F(c,0),B(0,b),FB的中点坐标(,)不满足双曲线的
7、渐近线方程y=x,所以B错误;对于C,由等轴双曲线的性质可知C正确;对于D,由共轭双曲线的性质可知D正确.故选CD.7.(3,0)双曲线C:-=1中,c2=6+3=9,c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=x,即xy=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=.8.2设B(c,yB),因为B为双曲线C:-=1上的点,所以-=1,所以=.因为AB的斜率为3,所以yB=,=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的离心率e=2.1.(1)D设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=2,所
8、以|PF1|=2+|PF2|,|PF1|+|PQ|=2+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=x,焦点F2(,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为2+1,故选D.(2)A解法一设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则由双曲线的定义得m-n=2a.由题意得=mn=4,且m2+n2=4c2,又e=,所以a=1,故选A.解法二(结论解法)由题意及双曲线焦点三角形的结论(详见主书P203【思维拓展】(4),得=4,得b2=4,又=5,c2=b2+a2,所以a=1.2.B由e=知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为(-4,0),所以c=4,则a2=b2=8.故选B.3.A不妨设A在第一象限,将x=c代入y=x得A(c,),所以tanF1AF2=tan,tan,即1,即113131e2-35e213e.故选A.
