1、第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2) 一、 填空题1. 以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_答案：x21解析：椭圆1的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，则双曲线中a1，c2，b，所以所求双曲线方程为x21.2. 已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线l：xmy10(mR)过椭圆C的右焦点F, 则椭圆C的标准方程为_答案：1解析：由题设，得解得 从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.3. 已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为_答案：解析：根据已知条件得2，所以p4.从而抛物线方程为y28x，其焦点F(2，0)，从而直线A
2、F的斜率为.4. 双曲线x21的渐近线与圆x2(y4)2r2(r0)相切，则r_答案：2解析：渐近线的方程为xy0，圆心(0，4)到渐近线的距离等于r，则r2.5. 在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点当直线PQ斜率为时，PQ2，则椭圆C的标准方程为_答案：1解析：设P， 直线PQ斜率为时，PQ2， x3， x2. 1. e， a24，b22. 椭圆C的标准方程为1.6. 已知直线yx与双曲线1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB_答案：解析
3、：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2，y1y20，y1y2，x1x20，x1x24.由kPAkPB，知kPAkPB为定值.7. 若C(，0)，D(，0)，点M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_答案：1解析：由椭圆y21知c2413， c， C，D是该椭圆的两焦点令MCr1，MDr2，则r1r22a4， . r1r24， 1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.8. 已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案：2解析：直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，P到
4、l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2.9. (2017常州期末)已知抛物线x22py(p0)的焦点F是椭圆 1(ab0)的一个焦点若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为_答案：1解析：由题意，p2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入椭圆方程，可得1，整理可得e46e210. 0e1， e1.10. (2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C
5、交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则ABDE的最小值为_答案：16解析：根据题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为零，抛物线C的焦点F的坐标为(1，0)，设直线l1的方程为yk(x1)，代入抛物线方程，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22.根据抛物线定义得AFx11，BFx21，所以ABAFBFx1x224.因为l2l1，所以用代替k，得DE44k2，所以ABDE8484216，当且仅当k1时，等号成立，故所求的最小值为16.二、 解答题11.如图，已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上(1) 求椭圆的方程；(2) 点
6、M在圆x2y2b2上，且M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长是定值. (1) 解：根据已知，椭圆的左、右焦点为分别是F1(1，0)，F2(1，0)，c1. H在椭圆上， 2aHF1HF26， a3，b2a2c28， 椭圆的方程是1.(2) 证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1，PF2. 0x13， PF23.在圆中，M是切点， PMx1， PF2PM3x1x13，同理QF2QM3， F2PF2QPQ336，因此PF2Q的周长是定值6.12.如图，已知椭圆E：1(ab0)的左顶点A(2，0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点过
7、点A作斜率为k(k0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 若F1CAB，求k的值解：(1) 由题意得解得 椭圆E的标准方程为1.(2) 设直线AB的方程lAB：yk(x2)，由得(34k2)x216k2x16k2120， xAxB2xB， xB， yBk， B .若k，则B，C. F1， kCF1， F1C与AB不垂直， k. F2(1，0)，kBF2，kCF1， 直线BF2的方程lBF2：y(x1)，直线CF1的方程lCF1：y(x1)由解得 C.又点C在椭圆上得1，即(24k21)(8k29)0，即k2. k0， k.13.已知椭圆C：1
8、(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1.求证：直线l过定点(1) 解：由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2) 证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是直线l：yxm，即y1(x2)，所以直线l过定点(2，1)
