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2022届高考数学大一轮全程基础复习检测卷(通用):第9章 平面解析几何 第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2) WORD版含解析.doc

1、第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2) 一、 填空题1. 以椭圆1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为_答案:x21解析:椭圆1的焦点为(1,0),顶点为(2,0),则双曲线中a1,c2,b,所以所求双曲线方程为x21.2. 已知椭圆C:1(ab0)的离心率e,直线l:xmy10(mR)过椭圆C的右焦点F, 则椭圆C的标准方程为_答案:1解析:由题设,得解得 从而b2a2c23,所以椭圆C的标准方程为1.3. 已知点A(2,3)在抛物线C:y22px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为_答案:解析:根据已知条件得2,所以p4.从而抛物线方程为y28x,其焦点F(2,0),从而直线A

2、F的斜率为.4. 双曲线x21的渐近线与圆x2(y4)2r2(r0)相切,则r_答案:2解析:渐近线的方程为xy0,圆心(0,4)到渐近线的距离等于r,则r2.5. 在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:1(ab0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点当直线PQ斜率为时,PQ2,则椭圆C的标准方程为_答案:1解析:设P, 直线PQ斜率为时,PQ2, x3, x2. 1. e, a24,b22. 椭圆C的标准方程为1.6. 已知直线yx与双曲线1交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPAkPB_答案:解析

3、:设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由得y2,y1y20,y1y2,x1x20,x1x24.由kPAkPB,知kPAkPB为定值.7. 若C(,0),D(,0),点M是椭圆y21上的动点,则的最小值为_答案:1解析:由椭圆y21知c2413, c, C,D是该椭圆的两焦点令MCr1,MDr2,则r1r22a4, . r1r24, 1.当且仅当r1r2时,上式等号成立故的最小值为1.8. 已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案:2解析:直线l2:x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知,P到

4、l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y24x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x3y60的距离,即dmin2.9. (2017常州期末)已知抛物线x22py(p0)的焦点F是椭圆 1(ab0)的一个焦点若P,Q是椭圆与抛物线的公共点,且直线PQ经过焦点F,则该椭圆的离心率为_答案:1解析:由题意,p2c,P(,c),即P(2c,c),代入椭圆方程,可得1,整理可得e46e210. 0e1, e1.10. (2017全国卷)已知F为抛物线C:y24x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C

5、交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则ABDE的最小值为_答案:16解析:根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),设直线l1的方程为yk(x1),代入抛物线方程,得k2x2(2k24)xk20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22.根据抛物线定义得AFx11,BFx21,所以ABAFBFx1x224.因为l2l1,所以用代替k,得DE44k2,所以ABDE8484216,当且仅当k1时,等号成立,故所求的最小值为16.二、 解答题11.如图,已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1,0),点H在椭圆上(1) 求椭圆的方程;(2) 点

6、M在圆x2y2b2上,且M在第一象限,过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:PF2Q的周长是定值. (1) 解:根据已知,椭圆的左、右焦点为分别是F1(1,0),F2(1,0),c1. H在椭圆上, 2aHF1HF26, a3,b2a2c28, 椭圆的方程是1.(2) 证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则1,PF2. 0x13, PF23.在圆中,M是切点, PMx1, PF2PM3x1x13,同理QF2QM3, F2PF2QPQ336,因此PF2Q的周长是定值6.12.如图,已知椭圆E:1(ab0)的左顶点A(2,0),且点在椭圆上,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点过

7、点A作斜率为k(k0)的直线交椭圆E于另一点B,直线BF2交椭圆E于点C.(1) 求椭圆E的标准方程;(2) 若F1CAB,求k的值解:(1) 由题意得解得 椭圆E的标准方程为1.(2) 设直线AB的方程lAB:yk(x2),由得(34k2)x216k2x16k2120, xAxB2xB, xB, yBk, B .若k,则B,C. F1, kCF1, F1C与AB不垂直, k. F2(1,0),kBF2,kCF1, 直线BF2的方程lBF2:y(x1),直线CF1的方程lCF1:y(x1)由解得 C.又点C在椭圆上得1,即(24k21)(8k29)0,即k2. k0, k.13.已知椭圆C:1

8、(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上(1) 求椭圆C的方程;(2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1.求证:直线l过定点(1) 解:由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点又由知,椭圆C不经过点P1,所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2) 证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:xt,由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.而k1k2.由题设k1k21,故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0,即(2k1)(m1)0,解得k.当且仅当m1时,0,于是直线l:yxm,即y1(x2),所以直线l过定点(2,1)

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