1、第2课时等比数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的性质及其应用(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.在等差数列an中，存在很多的性质，如(1)若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(2)若mn2p，则aman2ap.(3)若l1，l2，l3，l4ln成等差数列，则al1，al2，al3，al4，aln也成等差数列那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性
2、质呢？1推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anamqnm(m，nN*)2“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.思考：如何推导anamqnm?提示由qnm，anamqnm.3等比数列项的运算性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，amana.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.4两等
3、比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列can，a，anbn，也为等比数列1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)在等比数列an中，q1时是递增数列()(3)若数列an是等比数列，那么，a，|an|都是等比数列()提示(2)q1，a10时，数列an是递减数列(3)若an的公比为q，则，a，|an|的公比分别为，q2，|q|.答案(1)(2)(3)2(教材P31T5改编)已知数列an是等比数列，下列说法错误的是()Aa3，a5，a7成等比数列Ba1，a3，a9成等比数列Can，an1
4、，an2成等比数列Dn3时，an3，an，an3成等比数列B在等比数列中，若mn2p，则amana，即am，ap，an成等比数列，所以ACD正确，B错误，故选B.3在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11()A25 B25C10D20B在等比数列an中，712811910，a7a12a8a11a9a10.原式(a7a12)225.故选B.4在等比数列an中，a54，a76，则a9_.9因为a7a5q2，所以q2.所以a9a5q4a5(q2)249.5数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.1设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d
5、，因为a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，所以(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，故q1.灵活设项求解等比数列【例1】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数思路探究本题由于涉及的数列的项比较特殊，巧妙设为对称项，会给解题带来方便解法一：设前三个数分别为，a，aq(q0)，则第四个数为2aqa.由题意得，解得q2或q.当q2时，a6，这四个数为3，6，12，18；当q时，a，这四个数为，.法二：设后三个数分别为ad，a，ad，则第一个数为，因此这四个数为，ad，a，ad.由题意得解得或故这四个数为
6、3，6，12，18或，.法三：设第一个数为a，则第四个数为21a，设第二个数为b，则第三个数为18b，则这四个数为a，b，18b，21a，由题意得解得或故这四个数为3，6，12，18或，.巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成ad，a，ad.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，aq，aq3.跟进训练1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解法一：设前三个数依次为ad，a，ad，则第四个数
7、为，由条件得解得或所以当a4，d4时，所求四个数为0，4，8，16；当a9，d6时，所求四个数为15，9，3，1.法二：设第一个数为a，则第四个数为16a，设第二个数为b，则第三个数为12b，这四个数为a，b，12b，16a，由题意得解得或故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.等比数列的性质及应用【例2】已知an为等比数列(1)等比数列an满足a2a4，求a1aa5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值思路探究利用等比数列的性质，若mnpq，则amanapaq求解解(1)等比数列an中，因为a2a4，所以aa1a5a2a4，所以a1aa5.(2)
8、由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法(1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量.这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐.(2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等经常被用到.跟进训练2(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6
9、()A5 B7C6D5(2)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的两个根，则的值为()A或BCD或(1)A(2)D(1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3(a1a3)a2a5，a7a8a9(a7a9)a8a10，所以a2a850，所以a4a5a6(a4a6)a5a()35.法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)(a7a8a9)(a4a5a6)2，所以a4a5a65.又数列各项均为正数，所以a4a5a65.(2)等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的两个根，a2a162.又 a2 a16 a 2，a9，a9.故选
10、D.由递推公式构造等比数列求通项探究问题1如果数列an满足a11，an12an1(nN*)，你能判断出an是等差数列，还是等比数列吗？提示由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列an既不是等差数列，也不是等比数列2若数列an满足a11，an12an1，能否证明an1是一个等比数列？提示在an12an1两边都加1得an112(an1)，显然数列an1是以a112为首项，以q2为公比的等比数列3在探究1中，若将an12an1改为an13an5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？提示先将an13an5变形为an1x3(anx)将该式整理为an13an2x与an13an5对比可知2x5，即x
11、；所以在an13an5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an即可求出an.【例3】已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值；(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列思路探究(1)把n1代入Sn2ann4求得；(2)先由Sn2ann4，利用Sn和an的关系得an的递推关系，然后构造出数列an1利用定义证明解(1)因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.(2)证明：因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1(n1)4，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1
12、，且b1a1120，所以数列bn是以b12为首项，2为公比的等比数列1(变条件，变结论)将本例条件“Sn2ann4”改为“a11，Sn14an2”，“bnan1”改为“bnan12an”，试证明数列bn是等比数列，并求bn的通项公式证明an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.所以数列bn是公比为2的等比数列，首项为a22a1.因为S2a1a24a12，所以a25，所以b1a22a13.所以bn32n1.2(变条件，变结论)将本例中条件“Sn2ann4”改为“a1，an1an”，试证明an3 为等比数列，并求an的通项公式证明令an1A，则an1an.由已知条件知1，得A3，所以
13、an13.又a130，所以是首项为，公比为的等比数列于是an3，故an32.两种递推公式构造等比数列的模型(1)由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)可得，这样就构造了等比数列an.(2)形如an1candn(cd，cd0)的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以dn1得，进而化归为等比数列.还可以两边同除以cn1得，再利用累加法求出，即得an.1与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题(2)等差(比)
14、数列公式和性质的灵活应用(3)题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系2在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了1已知等差数列an的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10()A26 B30C34D38C由题意可得：aa2a6，即2a2，结合题意有：(a24)2a2(a216)，解得a22，则a10a28d28434.故选C.2已知数列an为等比数列，Sn为等差数列bn的前n项和，且a21，a1016，a6b6
15、 ，则S11()A44 B44 C88 D88A由题意，数列an为等比数列，满足a21，a1016，根据等比数列的性质，可得a2a10116a，a60，可得a64，所以b6a64，则S1111b644，故选A.3在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为_8设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2ac84，因为a2b0，b2(舍负)所以这3个数的积为abc428.4已知在公比为q的等比数列an中，a5a9q，则a6(a22a6a10)的值为_a5a9q，a4a8，a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)2.5(1)已知数列an为等比数列，a33，a1127，求a7；(2)已知an为等比数列，a2a836，a3a715，求公比q.解(1)法一：相除得q89.所以q43，所以a7a3q49.法二：因为aa3a1181，所以a79，又a7a3q43q40，所以a79.(2)因为a2a836a3a7，而a3a715，所以a33，a712或a312，a73.所以q44或，所以q或q.
