1、第2课时数列的递推公式与an和Sn的关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会用an与Sn的关系求通项公式.1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养.2.借助利用an与Sn的关系确定an的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.看下面例子：(1)1，2，4，8，16，(2)1，cos 1，cos(cos 1)，coscos(cos 1)，(3)0，1，4，7，10，13.请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项的关系怎样？1数列的递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前几项)；从第2项(或某一项)开
2、始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式思考：所有数列都有递推公式吗？提示不一定例如精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式2数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列an的关系式anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？提示不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项
3、的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的3数列an的前n项和(1)数列an从第1项起到第n项止的各项之和称为数列an的前n项和，记作Sn，即Sna1a2an.(2)如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式(3)数列an的通项an与前n项和Sn之间的关系为an1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()提示并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递
4、推公式答案(1)(2)(3)(4)2已知数列an中的首项a11，且满足an1an，此数列的第3项是()A1BCDCan1an，a11，a2a11，a3a21.故选C.3数列an满足an11，且a12，则a2 020的值为()A B1 C2 D1C由an11及a12，得a2，a31，a42，至此可发现数列an是周期为3的周期数列：2，1，2，1，.而2 02067331，故a2 020a12.4已知数列an的前n项和公式Snn22n1，则其通项公式an_.当n2时，anSnSn1n22n1(n1)22(n1)12n3，而当n1时，a1122110213，所以通式公式an由递推公式求数列中的项【例
5、1】已知数列an中，a11，a22，以后各项由anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn，写出数列bn的前4项解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4项依次为b1，b2，b3，b4.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给
6、公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.跟进训练1已知数列an的第1项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.数列的单调性【例2】已知数列an的通项公式是an(n2) (nN*)，试问数列an是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由思路探究判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式解法一：作差比较an1与an的大小，判断an的单调性an1an(n3)(n2).当n5时，an1an
7、0，即an1an；当n5时，an1an0，即an1an；当n5时，an1an0，即an1an.故a1a2a3a4a5a6a7a8，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6.法二：作商比较an1与an的大小，判断an的单调性.又an0，令1，解得n5；令1，解得n5；令1，解得n5.故a1a2a3a4a5a6a7，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6.法三：假设an中有最大项，且最大项为第n项，则即解得即5n6.故数列an有最大项a5或a6，且a5a6.求数列an的最大(小)项的方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本
8、题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有对任意的kN*且k2都成立，解不等式组即可.跟进训练2已知数列an的通项公式为ann27n8.(1)数列中有多少项为负数？(2)数列an是否有最小项？若有，求出其最小项解(1)令an0，即n27n80，得1n8.又nN*，所以n1，2，3，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项(2)函数yx27x8图象的对称轴为直线x，所以当1x3时，函数单调递减；当x4时，函数单调递增，所以数列an有最小项，又a3a420，所以数列an的最小项为a3或a4.利用an求通项【例3】根据下列数列的前n项和Sn求通项an.(1)Sn2
9、n2n1；(2)Sn23n2.思路探究先写出n2时，anSnSn1表达式，再求出n1时a1S1，验证是否适合n2时表达式如果适合则anSnSn1(nN*)，否则an解(1)由Sn2n2n1，当n2时，anSnSn1(2n2n1)2(n1)2(n1)14n3.当n1时，a1S12413.an(2)由Sn23n2，当n2时，anSnSn123n2(23n12)43n1.当n1时，a1S1231244311，an43n1(nN*)用an与Sn的关系求an的步骤(1)先确定n2时anSnSn1的表达式；(2)再利用Sn求出a1(a1S1)；(3)验证a1的值是否适合anSnSn1的表达式；(4)写出数
10、列的通项公式.跟进训练3已知数列an的前n项和Sn满足nlog2(Sn1)，求其通项公式an.解根据条件可得Sn2n1.当n2时，anSnSn12n12n112n1(21)2n1，当n1时，a1S12113211，an根据递推公式求通项探究问题1某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？提示由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN*，n30)2对于任意数列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(a
11、nan1)an都成立吗？若数列an满足：a11，an1an2，你能求出它的通项an吗？提示等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若数列an中的各项均不为0，等式a1an成立吗？若数列an满足：a13，2，则它的通项an是什么？提示等式a1an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1，所以an32n1(nN*)【例4】(1)已知数列an满足a11，an1an，nN*，求通项公式an；(2)设数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.思路探究(1)先将an1
12、an变形为an1an，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解(2)先将anan1(n2)变形为，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana11.an11，an(n2)又n1时，a11，符合上式，an(nN*)(2)a11，anan1(n2)，ana11.又n1时，a11，符合上式，an(nN*)1(变条件)将例题(1)中的条件“a11，an1an，nN*”变为“a1，anan1an1an(n2)”，求数列an的通项公式解anan1an1an，1.2n1.n
13、1，an(n2)又n1时，a1，符合上式，an(nN*).2(变条件)将例题(2)中的条件“a11，anan1(n2)”变为“a12，an13an(nN*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明解由a12，an13an，得：a23a132，a33a2332322，a43a33322332，a53a43332342，猜想：an23n1，证明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.将上面的n1个式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式
14、，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式；(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式.1数列的四种表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法2通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.3数列通项公式的求法(1)观察法根据给出数列的前几项观察归纳；(2)累加法适合类型为an1anf(n)；(3
15、)累乘法适合类型为an1anf(n)；(4)利用an与Sn关系，即an1数列2，4，6，8，10，的递推公式是()Aanan12(n2)Ban2an1(n2)Ca12，anan12(n2)Da12，an2an1(n2)CA，B中没有说明某一项，无法递推，D中a12，a24，a38，不合题意2已知数列an满足a11，anan13(n2)，则数列的通项公式an()A3n1 B3nC3n2D3(n1)C根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，可以归纳出an3n2.故选C.3数列an满足an1，a82，则a1_.先求出数列的周期，再进一步求解首项an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.4已知数列an中，a12，an1anln，求an.解由题意得an1anln ，anan1ln (n2)，an1an2ln ，a2a1ln .当n2时，ana1lnln n，an2ln n(n2)当n1时，a12ln 12，符合上式，an2ln n(nN*)
