1、考纲点击考情关注1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.参数方程是研究曲线的辅助工具，在高考试题中，多考查参数方程与普通方程的互化及参数思想的运用，如2010年辽宁高考.3常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为xx0tcosyy0tsin(t 为参数)设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段P0P 的数量(2)圆的参数方程xrcosyrsin(为参数)(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xacosybsin(为参数)；双曲线x2a2y2b21 的参数方程为xasecybta
2、n(为参数)；抛物线 y22px 的参数方程为x2pt2y2pt(t 为参数)1.设直线 l1 的参数方程为x1t，y13t(t 为参数)，直线 l2 的方程为 y3x4，则 l1 与 l2 间的距离为_2若直线 l1：x12t，y2kt.(t 为参数)与直线 l2：xs，y12s(s 为参数)垂直，则 k_.3直线x145t，y135t(t为参数)被曲线 2cos(4)所截的弦长为_4已知直线 l 的参数方程是x1tsin，y2tcos(t 为参数)，其中实数 的范围是(2，)，则直线 l 的倾斜角是_5双曲线x23tan，y 1sin(为参数)的渐近线方程为_基础自测答案 1答案：3 10
3、5解析：将直线 l1 的参数方程化成普通方程为 y3x2，又 l2：y3x4，故 l1l2，在 l1 上取一点(0，2)，其到 l2：3xy40 的距离就是 l1 与 l2 的距离，即 d|024|103 105.2答案：1解析：l1：x12t，y2kt(t 为参数)化为普通方程为 y2k2(x1)，l2：xs，y12s(s 为参数)化为普通方程为 y12x，l1l2，k2(2)1，k1.3答案：75解析：将方程x145t，y135t，2cos(4)分别化为普通方程：3x4y10，x2y2xy0，圆心 C(12，12)，半径为 22，圆心到直线的距离 d 110，弦长2 r2d2212 110
4、075.4答案：32解析：首先把参数方程转化为普通方程，再求倾斜角l 方程转化为x1sinty2tcos，ycossin(x1)2，y 1tan(x1)2，设 l 倾斜角为(0)，又2，tan 1tantan(32)且232，直线 l 的倾斜角为32.5答案：y13(x2)解析：双曲线的普通方程为 y2x2291，双曲线的中心在(2,0)，焦点在直线 x2 上又 a1，b3，渐近线方程为 y13(x2)题型一 参数方程与普通方程的互化 例1 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)x112t，y2 32 t(t 为参数)；(2)x1t2，y2t(t 为参数)；(3)xt1t
5、，y1tt(t 为参数)；(4)x4sin，y5cos(为参数)听课记录(1)由 x112t 得，t2x2.y2 32(2x2)3xy2 30，此方程表示直线(2)由 y2t，得 ty2，x1(y2)2.即(y2)2x1，方程表示抛物线(3)由xt1t y1tt22 得，x2y24，方程表示双曲线(4)x4siny5cos，得sinx4 cosy522，得x216y2251 表示椭圆 把参数方程化为普通方程，关键是“消参”，若方程组中含有一次方程常用代入法消参，涉及三角函数的方程组常利用平方关系sin2cos21消参同时要注意方程的等价性 互动训练 1 将下列参数方程化为普通方程：(1)x1s
6、in2ysincos；(2)x 3k1k2y 6k21k2.解：(1)由(sincos)21sin2，得 y22x.又 x1sin20,2，y22x，x0,2(2)由yx2k，得 k y2x，然后代入 x 3k1k2，化简整理得：4x2y26y0(y6)题型二 直线参数方程的应用 例 2 过点 P(3,0)且倾斜角为 30的直线和曲线xt1t，yt1t(t 为参数)相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长 思路分析 利用直线的参数方程来求直线被圆锥曲线所截弦长问题，计算量相对较小，解题时应注意直线参数方程中参数t的几何意义听课记录 直线的参数方程为x3 32 s，y12s(s为参数)，又曲线x
7、t1t，yt1t(t 为参数)可以化为 x2y24，将直线的参数方程代入上式，得 s26 3s100.设 A、B 对应的参数分别为 s1，s2，s1s26 3，s1s210.AB|s1s2|s1s224s1s22 17.直线参数方程的标准形式是xx0tcos，yy0tsin.其中参数 t 有明显的几何意义|t|表示直线任一点 P(x，y)到定点 P0(x0，y0)的距离互动训练 2 求直线 l1：x1ty5 3t(t 为参数)和直线 l2：xy2 30 的交点 P 的坐标，及点 P 与Q(1，5)的距离解：将x1ty5 3t 代入 xy2 30 得 t2 3，得P(12 3，1)，而 Q(1，
8、5)得|PQ|2 32624 3.题型三 圆锥曲线的参数方程 例3 点P在圆x2(y2)2上移动，点Q在椭圆x24y24上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标听课记录 设 Q(2cos，sin)，O(0,2)，则OQ2(2cos)2(sin2)24cos2sin24sin43(sin23)2843，故当 sin23时，OO2 取最大值为283，OQ2 213.当 sin1 时，OQ2 取最小值为 1，OQ1.又圆的半径为12，故圆上的点 P 与 Q 的最大距离为 PQ122 213，P 与 Q 的最小距离为 PQ11212.PQ 取最大值时，sin23，cos 149 53，Q 的
9、坐标为(2 53，23)或(2 53，23)；PQ 取最小值时，sin1，cos0，点 Q 的坐标为(0,1)在求最大值(最小值)问题和求范围问题时，使用参数方程，将代数问题转化为三角问题，能迅速求解 互动训练 3 如下图所示，在椭圆x225y2161 中内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？解：椭圆的参数方程为x5cost，y4sint.设第一象限内椭圆上一点 M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S4xy45cost4sint40sin2t.当 t4时，面积 S 取得最大值 40，此时 x5cos452 2，y4sin42 2.因此，矩形在第一象限的顶点为(52 2，2 2)，此
10、时内接矩形的面积最大，且最大值为 40.例 4(2010辽宁卷)已知 P 为半圆 C：xcos，ysin(为参数，0)上的点，点 A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程解(1)由已知，M 点的极角为3，且 M 点的极径等于3，故点 M 的极坐标为(3，3)(2)M 点的直角坐标为(6，36)，A(1,0)，故直线 AM 的参数方程为x161t，y 36 t(t 为参数)(2011 年广东高考卷理 15)已知两曲线参数方程分别为5 cos(0)sinxy 和25()4xttRyt ，它 们 的 交 点 坐 标为 .来源:解：22242225 cos(0):1(01,5),5sin554,10,41652 5(0),555 41,44 52 5(1,).5xxyyxyxtytttttytxt 将 化为普通方程得将代入得:解得交点坐标为答案：2 5(1,)5(2)C1 的普通方程为 xsinycossin0.A 点坐标为(sin2，cossin)，故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为x12sin2，y12sincos(为参数)P 点轨迹的普通方程为(x14)2y2 116.故 P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆
