1、上海市陪佳双语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题(每小题4分,总分56分)1(4分)在等差数列an中,若a1=2,a2=,则a15=2(4分)计算:=3(4分)若,则3AB=4(4分)在三阶行列式中,5的余子式的值为5( 4分)已知一个关于x,y的二元线性方程组的增广矩阵是,则x+y=6(4分)已知9,a1,a2,1四个实数成等差数列,9,b1,b2,b3,1五个实数成等比数列,则b2(a2a1)的值等于7(4分)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+m)=2n13(2n1),从k到k+1,左边需要增乘的代数式为8(4分)若执行如图程序框图,那么输出的S=9(4分)
2、在等差数列an中,若a3=6,且a3、a7、a10成等比数列,则公差d=10(4分)已知数列an的前n项和Sn=2an1,则数列an的通项公式为an=(nN*)11(4分)已知数列an是等比数列,公比q,前n项和Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则n=12(4分)已知数列an满足an+1=,若a1=,则a40=13(4分)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1那么a10=14(4分)如图P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形P3、P4、Pn,记纸板Pn的面积
3、为Sn,则=二、选择题(每小题5分,总分20分)15(5分)下列三阶行列式可以展开为的是()ABCD16(5分)算法:第一步 x=a;第二步 若bx则x=b;第三步 若cx,则x=c; 第四步 若dx,则x=d; 第五步 输出x则输出的x表示()Aa,b,c,d中的最大值Ba,b,c,d中的最小值C将a,b,c,d由小到大排序D将a,b,c,d由大到小排序17(5分)已知数列an满足:a1=1,an+1=2an+3(nN*),则a10=()A2103B2113C2123D213318(5分)在等比数列an中,a11,且前n项和Sn满足Sn=,那么a1的取值范围是()A(1,+)B(1,4)C(
4、1,2)D(1,)三、解答题(总分74分)19(14分)已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(nN*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列求:()p,q的值;()数列xn前n项和Sn的公式20(14分)用行列式讨论关于x,y 的二元一次方程组解的情况并求解21(14分)数列an是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负(1)求数列的公差;(2)求前n项和Sn的最大值;(3)当Sn0时,求n的最大值22(16分)已知数列an满足:a1=1,n为正整数,对任意的n2都有an+2anan1an1=0成立(1)求证:数列为等差数列;并求an的通项公式;(2)判断
5、a3a6是否为数列an中的项,如果是,是第几项?如果不是,说明理由;(3)设cn=anan+1(nN*),求数列cn的前n项和Sn23(16分)已知数列an中,a1=0,nN*(1)求证:是等差数列;并求数列an的通项公式;(2)设,nN*,试证明:对于任意的正整数m、n,都有上海市陪佳双语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每小题4分,总分56分)1(4分)在等差数列an中,若a1=2,a2=,则a15=23考点:等差数列的通项公式 专题:等差数列与等比数列分析:根据等差数列的通项公式和题意求出公差d,再求出a15的值解答:解:设等差数列an的公差是
6、d,因为a1=2,a2=,所以d=2=,则a15=a1+14d=2+14=23,故答案为:23点评:本题考查等差数列的通项公式,属于基础题2(4分)计算:=考点:极限及其运算 专题:计算题分析:先分子分母同除以n2,再利用极限的运算性质可求解答:解:由题意,故答案为点评:本题主要考查极限的运算及性质,属于基础题3(4分)若,则3AB=考点:矩阵与矩阵的乘法的意义 专题:计算题分析:欲求3AB,根据矩阵的乘法的意义,先求得3A,再利用矩阵与矩阵的减法的意义,求出3A与B的差即得解答:解:,则3AB=故答案为:点评:本小题主要考查矩阵与矩阵的乘法的意义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题4(4
7、分)在三阶行列式中,5的余子式的值为21考点:二阶行列式的定义 专题:计算题分析:去掉5所在行与列,即得5的余子式,从而求值解答:解:由题意,去掉5所在行与列得:故答案为21点评:本题以三阶行列式为载体,考查余子式,关键是理解余子式的定义5(4分)已知一个关于x,y的二元线性方程组的增广矩阵是,则x+y=6考点:逆矩阵与二元一次方程组 专题:计算题分析:首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,再根据方程求解xy,最后求x+y解答:解由二元线性方程组的增广矩阵,可得到二元线性方程组的表达式,解得,所以x+y=6故答案为6点评:此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算
8、量小,属于较容易的题型6(4分)已知9,a1,a2,1四个实数成等差数列,9,b1,b2,b3,1五个实数成等比数列,则b2(a2a1)的值等于8考点:等比数列的性质;等差数列的性质 专题:计算题分析:设等差数列的公差为d,由等差数列的前n项和公式能求出公差d的值;设等比数列的公比为q,由等比数列的前n项和公式能求出公比q的值由此能够求出b2(a2a1)的值解答:解:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则有解得,b2(a2a1)=9=8点评:本题考查等比数列和等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意等比数列和等差数列的通项公式的合理运用7(4分)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(
9、n+m)=2n13(2n1),从k到k+1,左边需要增乘的代数式为2(2k+1)考点:数学归纳法 专题:计算题;点列、递归数列与数学归纳法分析:分别求出n=k时左边的式子,n=k+1时左边的式子,用n=k+1时左边的式子,除以n=k时左边的式子,即得所求解答:解:当n=k时,左边等于 (k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(2k),当n=k+1时,左边等于 (k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2),故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是=2(2k+1),故答案为 2(2k+1)点评:本题考查用数学归纳法证明等式,用n=k+1时的左边的式子除以n=k时的左
10、边的式子,属于基础题8(4分)若执行如图程序框图,那么输出的S=130考点:等差数列的前n项和;循环结构 专题:计算题分析:根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件就退出循环,从而到结论解答:解:如图所示的程序框图是当型循环结构,第一次循环:k=1+1=2,s=0+22=4,第二次循环:k=2+1=3,s=4+23=10,第三次循环:k=3+1=4,s=10+24=18,第四次循环:k=4+1=5,s=18+25=28,第五次循环:k=5+1=6,s=28+26=40,第六次循环:k=6+1=7,s=40+27=54,第七次循环:k=7+1=8,s=54+28=
11、70,第八次循环:k=8+1=9,s=70+29=88,第九次循环:k=9+1=10,s=88+210=108,第10次循环:k=10+1=11,s=108+211=130k=1110,结束循环,输出s=130故答案为:130点评:本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题9(4分)在等差数列an中,若a3=6,且a3、a7、a10成等比数列,则公差d=0或考点:等差数列的性质 专题:计算题;等差数列与等比数列分析:根据等差数列的通项公式分别表示出a3,a7,a10,再由a3,a7,a10成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,把表示的各项代入,整理可得首项与公差的
12、关系式,可得公差等于0或首项与公差的关系,又利用等差数列的通项公式化简已知的a3=12,得到关于首项与公差的另一个关系式,两关系式联立求出公差的值,综上,得到满足题意的公差d的值解答:解:设等差数列的公差为d,a3,a7,a10成等比数列,a72=a3a10,即(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+9d),整理得:d(a1+18d)=0,解得:d=0,或a1+18d=0,即a1=18d,a3=a1+2d=16d=6,解得d=,则公差d=0或故答案为:0或点评:此题考查了等比数列的性质,以及等差数列的通项公式,熟练掌握性质及公式是解本题的关键10(4分)已知数列an的前n项和Sn=2an1,则
13、数列an的通项公式为an=2n1(nN*)考点:数列递推式 专题:计算题分析:根据数列递推式,再写一式,两式相减,可得数列为等比数列,从而可得数列的通项公式解答:解:Sn=2an1,n2时,Sn1=2an11,两式相减可得:an=2an2an1,an=2an1,n=1时,S1=2a11,a1=1数列an是以1为首项,2为公比的等比数列an=2n1故答案为:2n1点评:本题考查数列递推式,考查等比数列的通项,确定数列是等比数列是关键,属于中档题11(4分)已知数列an是等比数列,公比q,前n项和Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则n=5考点:等比数列的前n项和 专题:计算题;等差数列与等比数
14、列分析:利用等比数列的求和公式,建立方程,即可求出n的值解答:解:数列an是等比数列,公比q,前n项和Sn,q=2,a1=7,Sn=217,217=,n=5,故答案为:5点评:熟练掌握等比数列的前n项和公式是解题的关键12(4分)已知数列an满足an+1=,若a1=,则a40=考点:数列递推式 专题:等差数列与等比数列分析:由已知条件利用递推公式求出数列的前4项,得到数列an是周期为3的周期数列,由此能求出a40解答:解:数列an满足an+1=,a1=,=,=,=,数列an是周期为3的周期数列,40=313+1,故答案为:点评:本题考查数列的第40项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数列
15、的周期性的合理运用13(4分)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1那么a10=1考点:等差数列的性质 专题:计算题;等差数列与等比数列分析:根据题意,用赋值法,令n=1,m=9可得:S1+S9=S10,即S10S9=S1=a1=1,进而由数列的前n项和的性质,可得答案解答:解:根据题意,在Sn+Sm=Sn+m中,令n=1,m=9可得:S1+S9=S10,即S10S9=S1=a1=1,根据数列的性质,有a10=s10s9,即a10=1,故答案为:1点评:本题考查数列的前n项和的性质,对于本题,赋值法是比较简单、直接的方法14(4分)如图P1是一块半径为1的半圆形纸板,
16、在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形P3、P4、Pn,记纸板Pn的面积为Sn,则=考点:演绎推理的基本方法;归纳推理 专题:压轴题分析:由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列,根据已知不难求出该数列的首项和公比,代入等比数列前n项和公式,易得剪去的所有半圆的面积和,从而得到最后纸板Pn的面积解答:解:每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项,以为公比的等比数列,则a1+a2+an=故:=故答案为:点评:本题考查的知识点其实是一种极限思想,当一个等比数列的|q|1时,=0,则a1+a2+an=二、选择题(每小题5分,总
17、分20分)15(5分)下列三阶行列式可以展开为的是()ABCD考点:三阶矩阵 专题:计算题分析:根据三阶行列式的求解方法,逐个计算,即可求得结论解答:解:根据三阶行列式的求解方法,可得=故选D点评:本题考查三阶行列式的求解,解题的关键是掌握三阶行列式的求解方法,属于基础题16(5分)算法:第一步 x=a;第二步 若bx则x=b;第三步 若cx,则x=c; 第四步 若dx,则x=d; 第五步 输出x则输出的x表示()Aa,b,c,d中的最大值Ba,b,c,d中的最小值C将a,b,c,d由小到大排序D将a,b,c,d由大到小排序考点:算法的概念 专题:计算题分析:本题解题思路为分部分析法,把一个整
18、体拆分为几个部分得到已知的信息,从而解题解答:解:x=a,若bx,则ba,x=b,否则x=a,即x为a,b中较大的值;若cx,则x=c,否则x仍为a,b中较大的值,即x为a,b,c中较大的值;若dx,则x=d,否则x仍为a,b,c中较大的值,即x为a,b,c中较大的值故x为a,b,c,d中最大的数,故选A点评:本题考查算法的概念的应用,是基础题解题时要认真审题,仔细解答17(5分)已知数列an满足:a1=1,an+1=2an+3(nN*),则a10=()A2103B2113C2123D2133考点:数列递推式 专题:等差数列与等比数列分析:由已知得an+3是首项为4,公比为2的等比数列,由此能
19、求出解答:解:数列an满足:a1=1,an+1=2an+3(nN*),an+1+3=2(an+3),又a1+3=4,an+3是首项为4,公比为2的等比数列,an+3=42n1=2n+1,an=2n+13,故选:B点评:本题考查数列的第10项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用18(5分)在等比数列an中,a11,且前n项和Sn满足Sn=,那么a1的取值范围是()A(1,+)B(1,4)C(1,2)D(1,)考点:极限及其运算 专题:计算题;压轴题分析:在等比数列an中,Sn=,由题意可知,=,再由a11,|q|1能够推导出a1的取值范围解答:解:由题意知Sn=,a1
20、2=1q,a11,|q|1,1a122,故选D点评:本题考查数列的极限及其应用,解题时要注意掌握极限的逆运算三、解答题(总分74分)19(14分)已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(nN*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列求:()p,q的值;()数列xn前n项和Sn的公式考点:数列递推式;等差数列的前n项和;等比数列的前n项和;等差数列的性质 专题:计算题;综合题分析:()根据x1=3,求得p,q的关系,进而根据通项xn=2np+np(nN*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列建立关于p的方求得p,进而求得q()进而根据(1)中求得数列的首项和公差,利用等
21、差数列的求和公式求得答案解答:解:()x1=3,2p+q=3,又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,3+25p+5q=25p+8q,联立求得 p=1,q=1()由(1)可知xn=2n+nSn=(2+22+2n)+(1+2+n)=点评:本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识,考查运算及推理能力20(14分)用行列式讨论关于x,y 的二元一次方程组解的情况并求解考点:线性方程组解的存在性,唯一性;二元一次方程组的矩阵形式 专题:计算题;分类讨论分析:先根据方程组中x,y的系数及常数项计算计算出D,Dx,Dy,下面对m的值进行分类讨论:(1)当m1,m1时,(2)当m=1
22、时,(3)当m=1时,分别求解方程组的解即可解答:解:,(各(1分)共3分)(1)当m1,m1时,D0,方程组有唯一解,解为(2分),其中解1分)(2)当m=1时,D=0,Dx0,方程组无解;(2分)(3)当m=1时,D=Dx=Dy=0,方程组有无穷多组解,此时方程组化为,令x=t(tR),原方程组的解为(tR)(2分),没写出解扣1分)点评:本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性,唯一性、二元方程的解法等基础知识,考查运算求解能力与转化思想属于中档题21(14分)数列an是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负(1)求数列的公差;(2)求前n项和Sn
23、的最大值;(3)当Sn0时,求n的最大值考点:等差数列的性质;数列的函数特性 专题:综合题分析:(1)利用等差数列的通项公式列出a60,a70,求出d的值;(2)根据d0判断an是递减数列,再由a60,a70,得出n=6时,Sn取得最大值;(3)由等差数列的前n项和公式列出不等式,解不等式即可解答:解:(1)由已知a6=a1+5d=23+5d0,a7=a1+6d=23+6d0,解得:d,又dZ,d=4(2)d0,an是递减数列,又a60,a70当n=6时,Sn取得最大值,S6=623+(4)=78(3)Sn=23n+(4)0,整理得:n(504n)00n,又nN*,所求n的最大值为12点评:本
24、题考查了等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式,(2)问d0判断an是递减数列,是解题的关键,属于中档题22(16分)已知数列an满足:a1=1,n为正整数,对任意的n2都有an+2anan1an1=0成立(1)求证:数列为等差数列;并求an的通项公式;(2)判断a3a6是否为数列an中的项,如果是,是第几项?如果不是,说明理由;(3)设cn=anan+1(nN*),求数列cn的前n项和Sn考点:数列的求和;等差数列的性质 专题:等差数列与等比数列分析:(1)利用定义法和递推关系式求数列的通项公式(2)验证数列的项用代入法求解(3)利用裂项相消法求数列的和解答:(1)证明:已知数列an满足:
25、对任意的n2都有an+2anan1an1=0成立,则:(常数)所以:数列为等差数列由于a1=1,所以:当n=1时,a1=1,所以:(2)解:根据(1)求得:a3a6=令解得:n=28所以:a3a6是数列an中的第28项(3)解:由(1)得:=1所以:数列cn的前n项和:Sn=c1+c2+cn=点评:本题考查的知识要点:利用递推关系式求数列的通项公式,验证数列的项,利用裂项相消法求数列的和,属于基础题型23(16分)已知数列an中,a1=0,nN*(1)求证:是等差数列;并求数列an的通项公式;(2)设,nN*,试证明:对于任意的正整数m、n,都有考点:数列与不等式的综合 专题:综合题分析:(1)因为,所以,nN*;由此能够证明是等差数列求能求出数列an的通项公式(2)由,得=由此能够证明对于任意的正整数m、n,都有解答:解:(1)因为,所以,nN*;故是等差数列由此可得,所以,nN*(2)由,则有=当,即n3时,bn+1bn;当,即n4时,bn+1bn由此可知,b4是数列bn中的最大项;又因为b1=0,且当n2时,bn0,所以数列bn中的最小项为b1=0对于任意的正整数m、n,都有点评:本题考查数列和不等式的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化